에우클레이데스의 원론

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《원론》(그리스어: Στοιχεῖα, 스토이케이아)은 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스가 기원전 3세기에 집필한 책으로, 총 13권으로 구성되어 있다.

그 내용은 다음과 같다. 

제1권에서 제 6권까지는 제5권을 제외하고 평면기하가 들어 있다.

제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. 비록 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 동의어로 사용하고 있지만 고대 그리이스 사람들의 일부는 그것을 달리 사용했었으며 유클리드가 채택한 그 두 단어의 차이점은 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 연구하고자 하는 특별한 분야에 특유한 가정인 것으로 여겨진다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.

제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화임을 지적했었다.

제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.

제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌룡한 걸작 중의 하나로 간주된다.

제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.

제7권에서 10권까지는 102개의 정리를 포함하고 있는데 기초적인 수론을 다루고 있다.

제7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드의 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.

제8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.

제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.

제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분과 같은 단위로 잴 수 없는 선분을 다루고 있다.

제11권에서 제13권까지는 입체기하가 들어있다.

제11권 : 선과 면·면과 면·평행육면체·정육면체·각기둥

제12권 : 원의 면적·각뿔·각기둥·원뿔·원기둥·구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용)

제13권 : 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함.)

[편집] 참고자료

유클리드의 기하학 원론(고대 그리스어): 인쇄본은 Lulu.com에서 "Euclid's Elements"라는 제목으로 구입 가능하다.(무료 다운로드)

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