정칙함수

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복소해석학에서, 정칙 함수(正則函數, 영어: holomorphic function)는 복소 함수에 대한, 미분 가능 함수와 해석함수에 동시에 대응하는 조건이다. 실수 함수의 경우 미분 가능 함수의 개념은 해석함수의 개념보다 훨씬 약하지만, 복소 함수의 경우 같은 개념에 대응한다.

정의[편집]

열린 집합 U\subset\mathbb C 위에 정의된 함수 f\colon U\to\mathbb C 및 점 z_0\in U에 대하여, 만약 극한

f'(z_0) = \lim_{z\to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{ z - z_0 }

가 존재한다면 fz_0에서 복소 미분 가능 함수(영어: function complex-differentiable at z_0)라고 한다.

열린 집합 U\subset\mathbb C 위에 정의된 함수 f\colon U\to\mathbb C 및 점 z_0\in U에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 z_0에서 정칙 함수(영어: function holomorphic at z_0)라고 한다.

  • 다음 조건을 만족시키는 근방 N\ni z_0가 존재한다.
    • 모든 z\in N\cap U에 대하여, fz_0에서 미분 가능 함수이다.
  • 다음 조건을 만족시키는 근방 N\ni z_0 및 복소수열 c_0,c_1,\dots\in\mathbb C가 존재한다.
    • 모든 z\in N\cap U에 대하여, 급수 \sum_{n=0}^\infty c_0(z-z_0)^n는 수렴하며, f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_0(z-z_0)^n이다.

열린 집합 U\subset\mathbb C 위에 정의된 함수 f\colon U\to\mathbb C에 대하여, 만약 f가 정의역의 모든 점에서 정칙 함수라면 f정칙 함수라고 한다.

리만 곡면 \Sigma_1, \Sigma_2 사이의 정칙 함수는 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon\Sigma_1\to\Sigma_2이다.

  • \Sigma_1의 정칙 국소 좌표계 \{\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb C\}\Sigma_2의 정칙 국소 좌표계 \{\chi_\beta\colon V_\beta\to\mathbb C\}가 주어졌을 때, 임의의 \alpha,\beta에 대하여 \chi_\beta\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}는 (이 합성이 정의되는 곳에서) 정칙 함수이다.

성질[편집]

리만 곡면 \Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3 사이의 정칙 함수

f\colon\Sigma_1\to\Sigma_2
g\colon\Sigma_2\to\Sigma_3

이 주어졌을 때, 합성 함수 g\circ f 역시 정칙 함수이다.

리만 곡면 \Sigma 위의 정칙 함수

f,g\colon\Sigma\to\mathbb C

가 주어졌을 때, f+gfg 역시 정칙 함수이다. 또한, 만약 모든 z\in\Sigma에 대하여 f(z)\ne0이라면, 1/f 역시 정칙 함수이다.

[편집]

전해석함수\mathbb C\to\mathbb C 정칙 함수이다. 리만 곡면 \Sigma 위의 유리형 함수\Sigma\to\hat{\mathbb C} 정칙 함수이다 (\hat{\mathbb C}리만 구). 복소 타원 곡선 E 위의 타원함수E\to\hat{\mathbb C} 정칙 함수이다.

리우빌의 정리에 따라, 콤팩트 리만 곡면 \Sigma 위의 \Sigma\to\mathbb C 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다.

함수 z\mapsto|z|^2는 (실수 평면 위의 함수로서) 매끈한 함수이지만, 그 어느 점에서도 정칙 함수가 아니다.

어원[편집]

유럽 언어에서, 정칙 함수를 뜻하는 단어 영어: holomorphic 홀로모픽[*], 프랑스어: holomorphe 올로모르프[*], 독일어: holomorph 홀로모르프[*]오귀스탱루이 코시의 제자 샤를오귀스트 브리오(Charles-Auguste Briot)와 장클로드 부케(프랑스어: Jean-Claude Bouquet)가 도입하였고, 고대 그리스어: ὅλος 홀로스[*](전체) + 고대 그리스어: μορφή 모르페[*](형태)의 합성어이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]