열린 집합

원판의 내부, 즉 $r<\sqrt{x^2+y^2}$을 만족하는 점들이 이루는 집합은 열린 집합이다.

위상수학과 이에 관련된 수학 분야에서, 집합 U가 열려 있다는 것은 직관적으로 말해서 U에 속하는 임의의 점 x가 어떤 방향으로든 작게 움직여도 U에 속한다는 것을 뜻한다.

예를 들어 0 < x < 1을 만족하는 모든 실수 x로 이루어진 구간 (0,1)은 열린 집합이다. 반면 0 < x ≤ 1을 만족하는 구간 (0,1]은 이 집합의 원소 x = 1을 양의 방향으로 움직인다고 했을 때 아무리 작게 움직여도 이 집합을 벗어나기 때문에 열린 집합이 아니다.

정의

위상공간

U의 모든 점이 내부점이면 U는 열린 집합이다.

유클리드 공간

$U\sub\mathbf{R}^n$를 정의하자. 만약 $U$의 모든 점 $\mathbf{x}_0$에 대하여 $D_r(\mathbf{x}_0)$가 $U$의 부분집합이 되는 어떤 $r>0$이 존재한다면 그 $U$를 열린 집합이라고 한다. 여기서 $D_r(\mathbf{x}_0)$는 반지름 $r$, 중심이 $\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n$인 열린 공으로 $\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <r$을 만족하는 모든 점 $\mathbf{x}$라고 정의한다. 즉, $\mathbb{R}^n$의 원소 $\mathbf{x}$중 $\mathbf{x}_0$로부터의 거리가 $r$미만인 모든 $\mathbf{x}$의 집합을 의미한다.

$U\sub\mathbf{R}^n$가 있을 때 $\forall\mathbf{x}\in U\ \exist r>0\ s.t.\ D_r(\mathbf{x})\sub U$라면 $U$는 열린 집합이다.

관련 정리

1. $r>0$일때 모든 $\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n$에 대해 $D_r(\mathbf{x}_0)$는 열린 집합이다.

(증명) $s=r-\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| >0$인 $s$를 잡자. 그 때 $D_s(\mathbf{x})$의 원소 $\mathbf{y}$는 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\|=\| (\mathbf{y}-\mathbf{x})+(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\|\le\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\| +\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <s+\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| =r$

$\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\| <r$이므로 $D_s(\mathbf{x})\sub D_r(\mathbf{x}_0)$이고 따라서 $D_r(\mathbf{x}_0)$는 열린 집합이다.