보렐 집합

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측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린 집합들로부터 가산번합집합, 가산번의 교집합, 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다.

정의[편집]

위상공간 (X,\mathcal U)보렐 시그마-대수(영어: Borel sigma-algebra) \mathfrak B(X)열린 집합들의 집합 \mathcal U를 포함하는 최소의 시그마-대수이다. X보렐 집합은 그 보렐 시그마-대수의 원소이다. 즉, 열린 집합으로부터 가산번의 합집합·교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(영어: Borel measure)는 보렐 시그마-대수에 대하여 정의되는 측도이다.

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수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 실수선 \mathbb R에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 측도에 따른 비가측집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 A\subset\mathbb R가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

  • a\in A의 연분수 표현
a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
의 계수 a_i 가운데, a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}인 부분 수열 a_{k_0},a_{k_1},\ldots이 존재한다.

그렇다면 A는 보렐 집합이 아니다.

참고 문헌[편집]

  • Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
  • Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
  • Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)

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