보렐 집합

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측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린 집합들로부터 가산번합집합, 가산번의 교집합, 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다.

정의[편집]

위상공간 (X,\mathcal U)보렐 시그마 대수(영어: Borel sigma-algebra) \mathcal B(X)열린 집합들의 집합 \mathcal U를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. X보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린 집합으로부터 가산번의 합집합·교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다.

작도[편집]

보렐 시그마 대수 \mathcal B(X)초한귀납법을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다. 모든 순서수 \alpha에 대하여, G^\alpha\subset\mathcal P(X)를 다음과 같이 정의하자.

  • G^0(X)=\mathcal U
  • G^{\alpha+1}(X)G^\alpha(X)의 원소들의 가산개의 교집합들의 가산개의 합집합이다. 즉, G^\alpha의 가산부분집합들의 가산집합 \mathcal I\subset\mathcal P(G^\alpha)에 대하여, G^{\alpha+1}(X)의 원소는 \bigcup_{A\in\mathcal I}\bigcap A의 꼴로 나타낼 수 있다.
  • 극한순서수 \alpha에 대하여, G^\alpha(X)=\bigcup_{\beta<\alpha}G^\beta이다.

그렇다면,

\mathcal B(X)=G^{\omega_1}(X)

이다. 여기서 \omega_1은 가장 작은 비가산 순서수(즉, 기수 \aleph_1에 대응하는 극한순서수)이다.

성질[편집]

두 위상공간 X,Y 사이의 연속함수 f\colon X\to Y는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측함수이다. 즉, 보렐 집합 S\subset Y원상 f^{-1}(S)\subset X은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X=Y=\mathbb R일 경우, 르베그 가측집합의 연속함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속함수에 대한 은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 XY폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석집합(영어: analytic set)이다.

비가산 폴란드 공간의 보렐 집합의 수는 2^{\aleph_0}이다. (모든 비가산 폴란드 공간은 보렐 측도공간으로서 실수선 \mathbb R와 동형이다.)

|\mathcal B(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}

이는 보렐 시그마 대수의 초한귀납법 작도로서 보일 수 있다. 즉, |\mathcal U(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}이며, 초한귀납법의 각 단계에서

(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}

이므로 기수는 2^{\aleph_0}을 초과하지 않는다. 반면, 실수의 르베그 가측집합의 수는

|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0}}

이다. 이는 크기가 2^{\aleph_0}이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분집합은 르베그 가측집합이기 때문이다.

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수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 실수선 \mathbb R에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 측도에 따른 비가측집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 A\subset\mathbb R가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

  • a\in A의 연분수 표현
a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
의 계수 a_i 가운데, a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}인 부분 수열 a_{k_0},a_{k_1},\ldots이 존재한다.

그렇다면 A는 보렐 집합이 아니다.

역사[편집]

에밀 보렐이 1898년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Borel, Émile (1898년). 《Leçons sur la theorie des fonctions》. Gauthier-Villars. JFM 29.0336.01

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