보렐 집합

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측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린 집합들로부터 가산합집합, 가산번의 교집합, 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다.

정의[편집]

위상 공간 (X,\mathcal U)보렐 시그마 대수(영어: Borel sigma-algebra) \mathcal B(X)열린 집합들의 집합 \mathcal U를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. X보렐 집합은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, 열린 집합으로부터 가산번의 합집합·교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

보렐 측도(영어: Borel measure)는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 측도이다.

보렐 위계[편집]

보렐 시그마 대수 \mathcal B(X)초한 귀납법을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 순서수 \alpha>0위상 공간 (X,\mathcal T)에 대하여, 다음과 같은 보렐 위계(영어: Borel hierarchy)를 정의하자.

\boldsymbol\Sigma^0_1(X)=\mathcal T (모든 열린 집합들의 집합)
\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)=\{X\setminus S\colon S\in\boldsymbol\Sigma^0_\alpha\}
\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)=\left\{\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta\colon\colon X_0,X_1,\dots,X_\beta\in\boldsymbol\Pi^0_\alpha\right\}
\boldsymbol\Delta^0_\alpha(X)=\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)

그렇다면 다음이 성립한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots\\
&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\
\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots\\
&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\
&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots
\end{matrix}

여기서 A\to BA\subset B를 의미한다.

성질[편집]

두 위상 공간 X,Y 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y는 (보렐 시그마 대수에 대하여) 가측 함수이다. 즉, 보렐 집합 S\subset Y원상 f^{-1}(S)\subset X은 보렐 집합이다. (반면, 만약 X=Y=\mathbb R일 경우, 르베그 가측 집합연속 함수에 대한 원상은 일반적으로 르베그 가측 집합이 아니다.) 보렐 집합의 연속함수에 대한 은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 XY폴란드 공간이라면, 보렐 집합의 상은 해석적 집합이다.

비가산 폴란드 공간의 보렐 집합의 수는 2^{\aleph_0}이다. (모든 비가산 폴란드 공간은 보렐 측도 공간으로서 실수선 \mathbb R와 동형이다.)

|\mathcal B(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}

이는 보렐 시그마 대수의 초한 귀납법 작도로서 보일 수 있다. 즉, |\mathcal U(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}이며, 초한귀납법의 각 단계에서

(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}

이므로 기수는 2^{\aleph_0}을 초과하지 않는다. 반면, 실수의 르베그 가측 집합의 수는

|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0}}

이다. 이는 크기가 2^{\aleph_0}이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, 칸토어 집합)이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 부분집합은 르베그 가측 집합이기 때문이다.

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수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 실수선 \mathbb R에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, 르베그 측도에 따른 비가측 집합의 존재는 선택 공리를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 A\subset\mathbb R가 다음 조건을 만족시키는 무리수들의 집합이라고 하자.

  • a\in A의 연분수 표현
a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
의 계수 a_i 가운데, a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}인 부분 수열 a_{k_0},a_{k_1},\ldots이 존재한다.

그렇다면 A는 보렐 집합이 아닌 해석적 집합이다.

역사[편집]

에밀 보렐이 1898년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Borel, Émile (1898). 《Leçons sur la theorie des fonctions》 (프랑스어). Gauthier-Villars. JFM 29.0336.01. 
  • Dudley, Richard (1989). 《Real Analysis and Probability》 (영어). Wadsworth, Brooks and Cole. 
  • Royden, Halsey (1988). 《Real Analysis》 (영어). Prentice Hall. 
  • Kechris, Alexander S. (1995). 《Classical descriptive set theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. Zbl 0819.04002. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]