내부 (위상수학)

위상수학에서, 한 집합 $A$의 내부(interior) $A^\circ$는 그 안에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다.

예를 들어 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 부분집합 $A$의 내부는

$A^\circ = \bigcup \{ V : V \subseteq A$ 이고 $V \;$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린 집합이다 $\}\;$

이다. 한 집합의 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다.

내부점

어떤 점 $p$ 가 집합 $E$ 에 속할 때,

$N(p;\delta) \subseteq E$ 인 $\delta > 0$ 가 존재하면,

$p$ 를 $E$의 내부점이라 한다.

간단한 증명을 통해, 집합 $E$ 의 내부 는 $E$ 의 모든 내부점 들의 집합 이라는 성질이 위의 정의와 동치임을 보일 수 있다.

내부와 집합연산

내부와 집합연산(합집합과 교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

• $(A \cup B)^\circ \supseteq A^\circ \cup B^\circ$
• $(A \cap B)^\circ = A^\circ \cap B^\circ$

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