경계 (위상수학)

위상수학에서 위상공간 $X$ 의 한 부분집합 $E$의 경계(boundary)란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다. 좀 더 수학적으로 말하면, 경계란 어떤 점에서 임의의 열린 공을 잡았을 때, $E$에 속하는 점과 $E$에 속하지 않는 점이 공의 반지름에 관계없이 열린 공 안에 있는 점들의 집합을 말한다. 즉, 경계 $\partial E$란

$\partial E = \{x \in X : \forall r>0, \; B_r (x) \cap E \ne \phi \;\mathrm{and}\; B_r (x) \cap E^c \ne \phi\}$

를 말한다.

경계의 성질

• 집합 $E$의 경계는 $E$의 닫힘과 내부의 상대적 여집합이다.

$\partial E = \overline E \setminus E^\circ$

• 집합 $E$의 경계는 $E$의 닫힘과 그 여집합의 닫힘과의 교집합이다.

$\partial E = \overline E \cap \overline{(X \setminus E)}$

경계와 집합연산

경계와 집합연산(합집합과 교집합)사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

• $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$
• $\partial(A \cap B) \subseteq \partial A \cup \partial B$

같이 보기

• 내부
• 외부