경계 (위상수학)

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일반위상수학에서 위상공간 X 의 한 부분집합 E경계(境界, 영어: boundary)란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다.

정의[편집]

위상공간 X부분공간 Y\subset X경계 \partial Y\subset X는 다음 성질을 만족시키는 점 x\in X들의 집합이다.

x의 모든 근방 N\ni x에 대하여, N\cap Y\ne\varnothing이며 N\setminus Y\ne\varnothing이다.

성질[편집]

경계는 다음과 같이 폐포 연산으로 나타낼 수 있다.

\partial Y=\operatorname{cl}Y\setminus\operatorname{int}Y=\operatorname{cl}Y\cap\operatorname{cl}(X\setminus Y)

여기서 \operatorname{cl}폐포, \operatorname{int}내부를 의미한다.

경계와 집합 연산 (합집합교집합) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

  • \partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B
  • \partial(A \cap B) \subseteq \partial A \cup \partial B

같이 보기[편집]