극한점

극한점(limit point)은 수학에서 위상공간에 대한 기본적인 개념중의 하나이다. 관련된 개념으로 집적점(cluster point)과 쌓인점(accumulation point)이 있다.

정의

실수에서의 정의

실수 안에서 주어진 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해, 실수 안의 점 $x$가 모든 양수 $\epsilon$에 대해 빠진 근방 $N' (x; \epsilon) = N (x; \epsilon) \setminus \{x\}$이 적어도 $S$의 한 점을 포함하면 $x$를 $N' (x; \epsilon)$의 극한점이라 한다. 즉,

$N' (x; \epsilon) \cap S \,\neq\, \phi$

를 만족하면, $x$를 $S$의 극한점이라 한다.

유클리드 n차원 공간에서의 정의

$\mathbb R^n$에서 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해, 점 $\bold x$가 모든 양수 $\epsilon$에 대해 빠진 근방 $N' (\bold{x}; \epsilon)$이 적어도 $S$의 한 점을 포함하면 $x$를 $S$의 극한점이라 한다. 즉,

$N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n : || \bold{y} - \bold{x} || < r \}$

즉,

$N' (\bold{x}; \epsilon) \cap S \neq \phi$

를 만족하면, $x$를 $S$의 극한점이라 한다.

일반적인 정의

일반적으로, 극한점이란 임의의 위상공간에서 정의한다. 위상공간 X 의 어느 점 x 가 부분집합 A 의 극한점이란 것은 x 의 모든 근방이 x 를 제외한 A 와 만난다는 것을 말한다.