극한점

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일반위상수학에서, 극한점(極限點, 영어: limit point)은 어떤 부분집합의 점들이 무한히 가까이 다가가는 점이다. 부분집합 대신 점열에 대한 유사한 개념으로 집접점(集積點, 영어: cluster/accumulation point)이 있다.

정의[편집]

위상공간 X의 부분공간 Y\subset X극한점은 다음 성질을 만족시키는 점 x\in X이다.

x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, U\cap Y\setminus\{x\}\ne\varnothing이다. 즉, x의 모든 빠진 근방Y와 교집합을 가진다.

위상공간 X의 부분공간 Y\subset X응집점(凝集點, 영어: condensation point)은 다음 성질을 만족시키는 점 x\in X이다.

x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, U\cap Y비가산 집합이다.

모든 응집점은 극한점이지만 그 역은 성립하지 않는다.

점열 x_n\in X집적점은 다음 성질을 만족시키는 점 x\in X이다.

x의 모든 근방 U\ni x에 대하여, x_n\in U인 무한히 많은 n이 존재한다.

성질[편집]

다음 조건들은 서로 동치이다.

  • xY의 극한점이다.
  • xY폐포에 속한다.

다시 말해, Y의 폐포는 Y와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

만약 XT1 공간이라면 다음 조건들은 서로 동치이다.

다음 조건들은 서로 동치이다.

  • X이산공간이다.
  • X의 모든 부분공간은 극한점을 갖지 않는다.

바깥 고리[편집]