극한점

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극한점(limit point)은 수학에서 위상공간에 대한 기본적인 개념중의 하나이다. 관련된 개념으로 집적점(cluster point)과 쌓인점(accumulation point)이 있다.

정의[편집]

실수에서의 정의[편집]

실수 안에서 주어진 공집합이 아닌 집합 S에 대해, 실수 안의 점 x가 모든 양수 \epsilon에 대해 빠진 근방 N' (x; \epsilon) = N (x; \epsilon) \setminus \{x\}이 적어도 S의 한 점을 포함하면 x N' (x; \epsilon)의 극한점이라 한다. 즉,

N' (x; \epsilon) \cap S \,\neq\, \phi

를 만족하면, xS의 극한점이라 한다.

유클리드 n차원 공간에서의 정의[편집]

\mathbb R^n에서 공집합이 아닌 집합 S에 대해, 점 \bold x가 모든 양수 \epsilon에 대해 빠진 근방 N' (\bold{x}; \epsilon)이 적어도 S의 한 점을 포함하면 x S의 극한점이라 한다. 즉,

N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n :  || \bold{y} - \bold{x} || < r \}

즉,

N' (\bold{x}; \epsilon) \cap S \neq \phi

를 만족하면, xS의 극한점이라 한다.

일반적인 정의[편집]

일반적으로, 극한점이란 임의의 위상공간에서 정의한다. 위상공간 X 의 어느 점 x 가 부분집합 A 의 극한점이란 것은 x 의 모든 근방x 를 제외한 A 와 만난다는 것을 말한다.