코시-리만 방정식

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수학, 복소해석학에서 코시-리만 방정식(Cauchy-Riemann equations)은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Cauchy)와 베른하르트 리만(Bernhard Riemann), 두 수학자의 이름을 붙인 편미분 방정식으로, 열린 집합에서 정의된 복소함수가 해석적(analytic or holomorphic)일 필요충분조건을 기술하는 데 자주 이용된다. 이 편미분방정식 장 르 롱 달랑베르 (1752)의 연구에서 처음 나타났고, 이후 레온하르트 오일러(1777)가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다. 코시(1814)는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용했다. 이 방정식은 리만의 함수론과 관련된 논문(1851)에서도 찾을 수 있다.

평면에서 정의된 두 실함수 u, v 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

위 방정식의 두 실함수 u, v 를 각각 복소함수 f 의 실수부와 허수부라고 하자. 즉 f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)라고 하자. 만약 u, v가 복소평면 위의 어떤 열린집합 안에서 연속인 편도함수를 갖는다면 f 가 그 열린집합 안에서 해석적일 필요충분조건은 그 집합에 속하는 모든 점에서 u, v가 위의 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.