코시-리만 방정식

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복소해석학에서, 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의[편집]

평면에서 정의된 두 실함수 u, v 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}
{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x}

정칙성과의 관계[편집]

복소 평면 위의 열린 집합 U\subset\mathbb C 위의 함수 u,v\colon U\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.

그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • uvU 위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
  • u+iv\colon U\to\mathbb CU 위에서 정칙함수이다.

반면, 예를 들어 함수

z\mapsto\begin{cases}\exp(-z^{-4})&z\ne0\\0&z=0\end{cases}

는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, z=0에서 연속 함수가 아니므로 z=0에서 정칙 함수가 아니다.

역사와 어원[편집]

오귀스탱 루이 코시베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다.[1] 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.[2][3] 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,[4]:319–506 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) d'Alembert, J. (1752년). 《Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides》. Paris: Chez David l’aîné
  2. (라틴어) Euler, L. (1797년). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. 《Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae》 10: 3–19.
  3. (영어) Sandifer, Ed (2007년 5월). How Euler did it 43: Introduction to Complex Variables. Mathematical Association of America. 2008년 1월 7일에 보존된 문서.
  4. (프랑스어) Cauchy, A.L. (1814년). 《Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires》. Paris: Chez de Bure frères
  5. (독일어) Riemann, Bernhard (1851년). 《Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse》, 박사 학위 논문, 괴팅겐 대학교

바깥 고리[편집]