코시-리만 방정식

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복소해석학에서, 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의[편집]

평면에서 정의된 두 실함수 u, v 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}
{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x}

위 방정식의 두 실함수 u, v 를 각각 복소함수 f 의 실수부와 허수부라고 하자. 즉 f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)라고 하자. 만약 u, v가 복소평면 위의 어떤 열린집합 안에서 연속인 편도함수를 갖는다면 f 가 그 열린집합 안에서 정칙함수필요충분조건은 그 집합에 속하는 모든 점에서 u, v가 위의 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.

역사와 어원[편집]

오귀스탱 루이 코시베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다.[1] 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.[2][3] 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,[4] 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) d'Alembert, J. (1752년). 《Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides》. Paris: Chez David l’aîné
  2. (라틴어) Euler, L. (1797년). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. 《Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae》 10: 3–19.
  3. (영어) Sandifer, Ed (2007년 5월). How Euler did it 43: Introduction to Complex Variables. Mathematical Association of America.
  4. (프랑스어) Cauchy, A.L. (1814). 《Mémoire sur les intégrales définies》, 319–506쪽
  5. (독일어) Riemann, B. (1851년). 《Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse》, 박사 학위 논문, 괴팅겐 대학교