코시-리만 방정식

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복소해석학에서, 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의[편집]

평면에서 정의된 두 실함수 u, v 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}
{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x}

정칙성과의 관계[편집]

복소 평면 위의 열린 집합 U\subset\mathbb C 위의 함수 u,v\colon U\to\mathbb R가 다음을 만족시킨다고 하자.

그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • uvU 위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
  • u+iv\colon U\to\mathbb CU 위에서 정칙함수이다.

반면, 예를 들어 함수

z\mapsto\begin{cases}\exp(-z^{-4})&z\ne0\\0&z=0\end{cases}

는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, z=0에서 연속 함수가 아니므로 z=0에서 정칙 함수가 아니다.

역사와 어원[편집]

오귀스탱 루이 코시베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다.[1] 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.[2][3] 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,[4]:319–506 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. d'Alembert, J. (1752). 《Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides》 (프랑스어). Paris: Chez David l’aîné. 
  2. Euler, L. (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis[[분류:라틴어 표기를 포함한 문서|코시-리만 방정식]]” (라틴어). 《Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae10: 3–19.  URL 제목에 위키 링크가 사용됨 (도움말)
  3. Sandifer, Ed (2007년 5월). “How Euler did it 43: Introduction to Complex Variables” (영어). Mathematical Association of America. 2008년 1월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
  4. Cauchy, A.L. (1814). 《Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires》 (프랑스어) 1. Paris: Chez de Bure frères. 
  5. Riemann, Bernhard (1851). 《Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse》 (독일어). 박사 학위 논문. 괴팅겐 대학교. 

바깥 고리[편집]