코시-리만 방정식

복소해석학에서, 코시-리만 방정식(-方程式, 영어: Cauchy–Riemann equations)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의

평면에서 정의된 두 실함수 $u$, $v$ 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x}$

위 방정식의 두 실함수 $u$, $v$ 를 각각 복소함수 $f$ 의 실수부와 허수부라고 하자. 즉 $f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)$라고 하자. 만약 $u$, $v$가 복소평면 위의 어떤 열린집합 안에서 연속인 편도함수를 갖는다면 $f$ 가 그 열린집합 안에서 정칙함수일 필요충분조건은 그 집합에 속하는 모든 점에서 $u$, $v$가 위의 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.

역사와 어원

오귀스탱 루이 코시와 베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다. 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다. 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고, 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.

참고 문헌

• (영어) Gray, J. D., S. A. Morris (1978년 4월). When is a function that satisfies the Cauchy–Riemann equations analytic?. 《The American Mathematical Monthly》 85 (4): 246–256. MR0470179. Zbl 0416.30002.