근방

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근방 N(p,r)의 표현: 평면 위의 집합 V는, p 주위의 작은 원반이 V에 포함되었다면 점 p의 근방이다.

일반위상수학에서, 근방(近傍, 영어: neighbo(u)rhood 네이버후드[*])은 어떤 점의 주위를 포함하는 집합이다. 위상수학의 기본적인 개념의 하나이며, 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않고 '움직일' 수 있다는 것으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

점의 근방[편집]

위상공간 X 속의 점 x\in X근방x를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합 U에 대하여 X\supset V\supset U\ni x가 성립할 경우, V\subset Xx의 근방이라 한다.

x\in X열린 근방열린 집합인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합 UU\in x를 만족시킨다면, Ux의 열린 근방을 이룬다.

x빠진 근방(영어: deleted neighborhood)은 V\setminus\{x\} 꼴의 집합이다. 빠진 근방은 이름과 달리 근방이 아니다.

집합의 근방[편집]

위상공간 X 속의 부분공간 Y\subset X근방S를 열린 부분집합의 부분집합으로 가지는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합 U에 대하여 X\supset V\supset U\supset Y가 성립할 경우, V\supset XY의 근방이라 한다.

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구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수선에서의 정의[편집]

x를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름rx의 근방 N(x;r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} :  | y - x | < r \}

즉, \mathbb R에서의 근방은 개구간 (x-r,x+r)과 같다. 또, 여기서 x가 빠진 집합을 반지름rx빠진 근방(deleted neighborhood) N'(x;r)이라 하고 다음과 같이 정의한다.

N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}

유클리드 공간에서의 정의[편집]

\mathbb{R}^n에서 반지름r\bold{x}의 근방 N(x;r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n :  || \bold{y} - \bold{x} || < r \}

정의에서 보다시피, n = 2일 때는 \bold{x}가 중심이고 반지름이 r이며 경계가 빠진 원을 의미하고, n = 3일 때는 \bold{x}가 중심이고 반지름이 r이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름r\bold{x}의 빠진 근방 N'(\bold{x};r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N' (\bold{x};r) = N (\bold{x};r) \setminus \{ \bold{x} \}

바깥 고리[편집]