근방

근방 $N(p,r)$ 의 표현: 평면 위의 집합 $V$ 는, $p$ 주위의 작은 원반이 $V$ 에 포함되었다면 점 $p$ 의 근방이다.

근방(neighborhood)은 위상공간에 대한 기본적인 개념중의 하나이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않고 '움직일' 수 있다는 것으로 생각할 수 있다.

정의 [편집]

위상공간 $X$ 와 그 공간에 속하는 점 $p$ 에 대하여, 집합 $V$ 가 열린 집합 $U$ 를 부분집합으로 가지며 $p$ 가 $U$ 의 원소일 경우 $V$ 를 $p$ 의 근방으로 정의한다. 즉, $p \in U \subseteq V$ 가 성립한다.

비슷하게, 집합 $S$ 에 대하여 집합 $V$ 가 열린 집합 $U$ 를 부분집합으로 가지며 $S$ 가 $U$ 의 부분집합일 경우 $V$ 를 $S$ 의 근방으로 정의한다.

$x$ 를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름이 $r$ 인 $x$ 의 근방 $N(x;r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} : | y - x | < r \}$

즉, $\mathbb R$ 에서의 근방은 개구간 $(x-r,x+r)$ 과 같다. 또, 여기서 $x$ 가 빠진 집합을 반지름이 $r$ 인 $x$ 의 빠진 근방(deleted neighborhood) $N'(x;r)$ 이라 하고 다음과 같이 정의한다.

$N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}$

$\mathbb{R}^n$ 에서 반지름이 $r$ 인 $\bold{x}$ 의 근방 $N(x;r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n : || \bold{y} - \bold{x} || < r \}$

정의에서 보다시피, $n = 2$ 일 때는 $\bold{x}$ 가 중심이고 반지름이 $r$ 이며 경계가 빠진 원을 의미하고, $n = 3$ 일 때는 $\bold{x}$ 가 중심이고 반지름이 $r$ 이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름이 $r$ 인 $\bold{x}$ 의 빠진 근방 $N'(\bold{x};r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N' (\bold{x};r) = N (\bold{x};r) \setminus \{ \bold{x} \}$