근방

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근방 N(p,r)의 표현: 평면 위의 집합 V는, p 주위의 작은 원반이 V에 포함되었다면 점 p의 근방이다.

근방(近傍, 영어: neighbo(u)rhood 네이버후드[*])은 위상공간에 대한 기본적인 개념중의 하나이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않고 '움직일' 수 있다는 것으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

위상공간 X와 그 공간에 속하는 점 p에 대하여, 집합 V열린 집합 U를 부분집합으로 가지며 pU의 원소일 경우 Vp근방으로 정의한다. 즉, p \in U \subseteq V가 성립한다.

비슷하게, 집합 S에 대하여 집합 V가 열린 집합 U를 부분집합으로 가지며 SU의 부분집합일 경우 VS근방으로 정의한다.

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구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수선에서의 정의[편집]

x를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름rx의 근방 N(x;r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} :  | y - x | < r \}

즉, \mathbb R에서의 근방은 개구간 (x-r,x+r)과 같다. 또, 여기서 x가 빠진 집합을 반지름rx빠진 근방(deleted neighborhood) N'(x;r)이라 하고 다음과 같이 정의한다.

N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}

유클리드 공간에서의 정의[편집]

\mathbb{R}^n에서 반지름r\bold{x}의 근방 N(x;r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n :  || \bold{y} - \bold{x} || < r \}

정의에서 보다시피, n = 2일 때는 \bold{x}가 중심이고 반지름이 r이며 경계가 빠진 원을 의미하고, n = 3일 때는 \bold{x}가 중심이고 반지름이 r이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름r\bold{x}의 빠진 근방 N'(\bold{x};r)은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

N' (\bold{x};r) = N (\bold{x};r) \setminus \{ \bold{x} \}

바깥 고리[편집]