근방

근방

N (p, r)

의 표현: 평면 위의 집합

V

는,

p

주위의 작은 원반이

V

에 포함되었다면 점

p

의 근방이다.

근방(neighborhood)는 위상수학과 관련된 다른 수학분야에서 위상공간에 대한 기본적인 개념중의 하나이다.

[편집] 실수에서의 정의

$x$ 를 임의의 실수라 하자. 이 때, 반지름이 $r$ 인 $x$ 의 근방 $N (x; r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} : | y - x | < r \}$

즉, $\mathbb R$ 에서의 근방은 개구간 $(x - r, x + r)$ 과 같다. 또, 여기서 $x$ 가 빠진 집합을 반지름이 $r$ 인 $x$ 의 빠진 근방(deleted neighborhood) $N'(x; r)$ 이라 하고 다음과 같이 정의한다.

$N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}$

$\mathbb{R}^n$ 에서 반지름이 $r$ 인 $\bold{x}$ 의 근방 $N (x; r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N(\bold{x};r) = \{ \bold{y} \in \mathbb{R}^n : || \bold{y} - \bold{x} || < r \}$

정의에서 보다시피, $n = 2$ 일때는 $\bold{x}$ 가 중심이고 반지름이 $r$ 이며 경계가 빠진 원을 의미하고, $n = 3$ 일때는 $\bold{x}$ 가 중심이고 반지름이 $r$ 이며 경계가 빠진 구를 의미한다.

마찬가지로 반지름이 $r$ 인 $\bold{x}$ 의 빠진 근방 $N'(\bold{x};r)$ 은 다음과 같은 집합으로 정의된다.

$N' (\bold{x};r) = N (\bold{x};r) \setminus \{ \bold{x} \}$