쌍둥이 소수 추측

쌍둥이 소수 추측은 정수론에서 가장 유명한 추측 가운데 하나로, 다음과 같다.

p+2가 소수인 소수 p가 무한히 존재한다.

이런 소수쌍을 쌍둥이 소수라고 부르기 때문에 이런 이름이 붙었다.

1849년 프랑스 수학자 알퐁스 드 폴리냐크(Alphonse de Polignac)는 이 추측을 더 일반화시켜, 임의의 자연수 k에 대해 $p - p' = 2k$를 만족하는 순서쌍 $(p, p')$가 무한히 존재한다는 추측을 만들었다. 쌍둥이 소수 추측은 k가 1일 때에 해당된다.

최근의 결과

브룬의 정리

1915년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 놀라운 결과를 발표했는데, 그 결과는 다음과 같다.

쌍둥이 소수의 역수의 총합은 수렴한다.

즉, 다시 말해서, 다음 수열이 수렴한다는 의미이다.

$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots$

위 결과를 브룬의 정리(Brun's theorem)라고 부른다. 조화급수와 마찬가지로 소수의 역수의 총합은 발산하기 때문에 결국 쌍둥이 소수 자체의 밀도가 생각보다 높지 않음을 보여준다. 이 쌍둥이 소수의 역수의 총합을 브룬 상수(Brun's constant)라고 부르는데 그 값은 대략 1.90216054에 근접한다. 브룬의 정리를 증명하는 법은 본질적으로 에라토스테네스의 체와 포함-배제의 원리(Inclusion-exclusion principle)를 이용한다.

천의 정리

1966년 중국의 수학자 천징룬(진경윤, 중국어 간체: 陈景润, 병음: Chén Jǐng Rùn)은 무한히 많은 소수 $p$에 대해 $p+2$가 소수이거나 거의 소수임을 증명했다. 여기서 '거의 소수'란 두 개의 소수의 곱으로 표현가능한 수를 말한다. 이 결과는 천의 정리(Chen's theorem)라 부르며 골드바흐의 추측과도 밀접하게 연결되어 있다.

그린-타오의 정리

$p$와 $p+2$가 모두 소수인 수는 소수만으로로 이루어진 등차수열로 볼 수 있다. 2005년 소수만으로 이루어진 임의의 길이를 가진 등차수열이 항상 존재함을 테렌스 타오(Terence Tao)와 벤 그린(Ben J. Green)이 증명하여, 타오는 2006년 필즈상 수상자가 된다. 이를 그린-타오 정리(Green–Tao theorem)라 한다.