밀스 상수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

밀스 상수수학 상수로, 모든 자연수 n에 대해 다음 수식의 값이 모두 소수가 되도록 하는 가장 작은 양의 실수 A를 가리킨다.

a(n) = \lfloor A^{3^n} \rfloor

단, 여기서 \lfloor x \rfloor바닥 함수이다. 밀스 상수의 존재는 윌리엄 밀스소수 간극에 대한 귀도 호아이젤 등의 연구를 바탕으로 1947년에 처음으로 증명했으나, 밀스 상수가 무리수인지의 여부는 아직 알려져 있지 않다. (가장 작은) 밀스 상수의 값은 다음과 같으며,

A \approx 1.30637788386308069046\cdots (OEIS의 수열 A051021)

A에 대해서 a(n)의 값은 처음 11개가 알려져 있다. 그 다음 값은 유사소수로 아직 소수임이 확정되지 않은 상태이다. 이들은 밀스 소수라 불리며, 표현의 편의를 위해 \Delta a(n) = a(n+1) - a(n)^3으로 정의하면 그 값은 다음과 같다.

a(n) = 2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, … (OEIS의 수열 A051254)
\Delta a(n) = 3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3636, 70756, 97220, (66768), … (OEIS의 수열 A108739)

알려진 가장 큰 밀스 소수 a(11)은 십진법으로 20,562자리로, 2007년 기준으로 타원 곡선 소수성 증명(ECPP) 알고리즘으로 증명된 가장 큰 소수이다.[1]

계산법[편집]

밀스는 상수의 존재만을 증명했을 뿐 그 값을 보이지는 않았다. 이후에 조건을 만족하는 A의 값은 무한히 많으며, 그 집합은 비가산집합이라는 것이 증명되었지만[2] 역시 직접적으로 값을 계산할 수 있는 것은 아니었다.

밀스 소수의 마지막 항 a(i)가 알려져 있을 경우, 그 다음 항 a(i+1)a(i)^3보다 큰 가장 작은 소수를 찾는 것으로 계산할 수 있다. 다만 이는 모든 연속된 정수의 세제곱 사이에는 항상 소수가 존재한다는 가정이 필요한데, 현재까지는 10^{6 \cdot 10^{18}}까지의 숫자에 대해서만 이 가정이 성립함이 알려져 있을 뿐이다.

이 방법을 사용해서 2005년에 C. Caldwell과 Y. Cheng은 리만 가설이 참이라는 가정 하에 밀스 상수를 소수점 약 7000자리까지 계산하였다. 리만 가설이 참이 아닐 경우 이 방법으로 밀스 상수를 직접 계산하는 것은 불가능하며, 다른 알려진 계산법이 없기 때문에 밀스 상수를 더 큰 소수의 발견에 사용하는 것은 힘들다.

주석[편집]

  1. NMBRTHRY 메일링 리스트
  2. Wright, E. M., "A class of representing functions," J. London Math. Soc., 29 (1954) 63--71.

바깥 고리[편집]