바젤 문제

바젤 문제는 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야콥 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}\cdots.$

오일러는 이 급수가 $\frac{\pi^2}{6}$로 수렴함을 증명하였다.

리만 제타 함수와의 관계

오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 리만 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots.$

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots$

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$