바이어슈트라스의 곱 정리 (Weierstrass product theorem) 혹은 바이어슈트라스 분해정리 (Weierstrass factorization theorem)란 해석학 의 정리 로서, 19세기에 복소해석학 이 이룬 괄목할 만한 성과 중 하나로 간주된다. 카를 바이어슈트라스 (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)가 제출한 이 정리는 다음과 같이 표현된다:
(존재성) 극점이 존재하지 않는 복소수 수열 이 주어지면, 이 점들만 영점으로 가지는 전해석함수 가 최소 하나 존재한다.
(부분적 경우의 구성) 주어진 0이 아닌 수열
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
f
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
e
P
n
(
z
)
(
1
−
z
a
n
)
{\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }{e^{P_{n}(z)}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}}
(
for
P
n
(
z
)
=
∑
k
=
1
∞
1
k
(
z
a
n
)
k
)
{\displaystyle \left({\mbox{for }}P_{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{{\frac {1}{k}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{k}}\right)}
간단한 형태의 구성 방법 증명 만 다룬다. 좀 더 포괄적인 존재성 에 관한 증명은 여기에서는 생략한다.
|
z
|
≤
R
<
2
R
≤
|
a
n
|
{\displaystyle |z|\leq R<2R\leq |a_{n}|}
P
n
(
z
)
{\displaystyle P_{n}(z)}
|
P
n
(
z
)
+
log
(
1
−
z
a
n
)
|
≤
2
|
z
a
n
|
n
+
1
≤
1
2
n
{\displaystyle \left|P_{n}(z)+\log \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\right|\leq 2\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{n+1}\leq {\frac {1}{2^{n}}}}
다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여
2
R
≤
|
a
M
|
{\displaystyle 2R\leq |a_{M}|}
∑
n
=
M
∞
|
P
n
(
z
)
+
log
(
1
−
z
a
n
)
|
≤
∑
n
=
M
∞
1
2
n
<
1
{\displaystyle \sum _{n=M}^{\infty }{\left|P_{n}(z)+\log \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\right|}\leq \sum _{n=M}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}<1}
그러므로 바이어슈트라스 M-판정법 에 의하여,
f
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
e
P
n
(
z
)
(
1
−
z
a
n
)
{\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }{e^{P_{n}(z)}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}}
균등수렴 하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리 에 의하여, 이 조건에서
f
{\displaystyle f}
폐집합
D
{\displaystyle D}
정칙 이다. 따라서
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
영점 으로 가지는 전해석함수이다. 일반화 [ 편집 ] 미타그레플레르 정리
정리 :
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
∞
{\displaystyle \infty }
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
n
{\displaystyle n}
f
(
a
n
)
=
b
n
{\displaystyle f(a_{n})=b_{n}}
f
{\displaystyle f}
참고 문헌 [ 편집 ] 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007 같이 보기 [ 편집 ] 
