바이어슈트라스 M-판정법

바이어슈트라스 M-판정법(Weierstrass M-test, -判定法)은 함수열의 고른 수렴성을 판정하는 기본적인 판정법이다. 독일 수학자 카를 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있다.

공식화

바이어슈트라스 M-판정법은 다음과 같이 공식화할 수 있다. 어떤 복소평면의 부분집합 E 상에서 정의된 복소함수의 함수열 {f_n(z)}에 대하여,

• 적당한 음이 아닌 실수열 {M_n}이 존재하여 $\sum_{k=1}^{\infty} M_k$ 가 수렴한다고 하자.
• 만약 모든 자연수 n와 E의 임의의 z에 대하여 $|f_n(z)| \le M_n$ 을 만족한다면, $\sum_{k=1}^{\infty} f_n(z)$ 는 E에서 고르게 수렴한다.

증명

다음과 같이 증명할 수 있다. $\sum_{k=1}^{\infty} M_k$ 가 수렴하므로, 임의의 r>0에 대하여 적당한 자연수 K가 존재하여 n, m≥K이면,

$|\sum_{k=m}^n f_k(z)| \le \sum_{k=m}^n M_k \le r.$

따라서 고른 수렴에 대한 코시 판정법에 의해 {f_n(z)} 는 E 위에서 고르게 수렴한다.

참고 문헌

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.