바이어슈트라스 M-판정법

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

바이어슈트라스 M-판정법(Weierstrass M-test, -判定法)은 함수열고른 수렴성을 판정하는 기본적인 판정법이다. 독일 수학자 카를 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

바이어슈트라스 M-판정법은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1] 어떤 복소평면부분집합 E 상에서 정의된 복소함수함수열 {fn(z)}에 대하여,

  • 적당한 음이 아닌 실수열 {Mn}이 존재하여 \sum_{k=1}^{\infty} M_k 가 수렴한다고 하자.
  • 만약 모든 자연수 n와 E의 임의의 z에 대하여 |f_n(z)| \le M_n 을 만족한다면, \sum_{k=1}^{\infty} f_n(z) 는 E에서 고르게 수렴한다.

증명[편집]

다음과 같이 증명할 수 있다.[1] \sum_{k=1}^{\infty} M_k 가 수렴하므로, 임의의 r>0에 대하여 적당한 자연수 K가 존재하여 n, m≥K이면,

|\sum_{k=m}^n f_k(z)| \le \sum_{k=m}^n M_k \le r.

따라서 고른 수렴에 대한 코시 판정법에 의해 {fn(z)} 는 E 위에서 고르게 수렴한다.

주석[편집]

  1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, p. 148.

참고 문헌[편집]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.