비교판정법

비교판정법(comparision test): 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$의 수렴여부를 판정하기 위해 항 $a_n \,$과 이미 수렴여부가 알려진 급수 $\sum_{n=1}^\infty b_n$의 항 $b_n\,$를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 가장 기본적인 비교판정법은 실수를 항으로 갖는 양항급수의 수렴판정에 관한 것이다. 이는 절대수렴하는 급수는 수렴한다는 사실에 따라 복소수를 항으로 갖는 급수의 수렴판정으로 확장될 수 있다. 또한 급수의 수렴은 수열의 극한의 존재를 바탕으로 정의 되었으므로 항의 비교에 관련된 조건을 약화시킨 형태의 판정법(극한비교판정법)을 얻을 수 있다.

(1) 양항급수에 대한 비교판정법

모든 자연수 $n\,$에 대해

• $0 \le \ a_n \le \ b_n\,$이고, $\sum_{n=1}^\infty b_n\,$이 수렴급수이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$도 수렴급수이다.
• $0 \le \ b_n \le \ a_n\,$이고, $\sum_{n=1}^\infty b_n\,$이 발산급수이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$도 발산급수이다.

(2) 비교판정법의 확장

확장된 형태의 비교판정법은 양항급수가 아닌 급수, 복소수를 항으로 갖는 급수의 수렴판정에 이용될 수 있다. 모든 자연수 $n\,$에 대해

• $|a_n| \le \ |b_n|\,$이고, $\sum_{n=1}^\infty |b_n|\,$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|\,$도 수렴한다. 이는 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$이 수렴급수임을 말한다.
• $|b_n| \le \ |a_n|\,$이고, $\sum_{n=1}^\infty |b_n|\,$이 발산하면 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|\,$도 발산한다. 그러나 이는 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$이 발산급수임을 말하는 것은 아니다.

(3) 극한비교판정법

모든 자연수 $n\,$에 대해

• $0<a_n, \, 0<b_n\,$이고, 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}\,$이 존재하고 0이 아닐 때 두 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$, $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 가운데 어느 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴한다. (하나가 발산하면 다른 하나도 발산한다.)