바나흐 공간

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함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach space)은 완비 노름공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의[편집]

k실수\mathbb R 또는 복소수\mathbb C라고 하자. k에 대한 바나흐 공간노름을 갖추고, 이 노름으로 정의한 거리완비된, k에 대한 벡터공간이다.

k를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

성질[편집]

  • 노름공간 X가 바나흐 공간을 이룰 필요충분조건은 모든 절대수렴(absolutely convergent) 수열이 수렴하는지 여부다.
  • X가 바나흐 공간이고, Y노름공간이고, T\colon X\to Y가 선형 작용소라고 하자. 그렇다면 T(X)는 바나흐 공간이다.
  • 한-바나흐 정리
  • 닫힌 그래프 정리
  • 열린 사상정리: X, Y가 바나흐 공간이고, T\colon X\to Y유계작용소라면, T전사함수일 필요충분조건은 X의 모든 열린 집합 U\subset X T(U)\subset Y가 열린 집합인지 여부다.
    • 이에 따라, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 사상은 항상 바나흐 공간의 동형사상이다.
  • X가 바나흐 공간이고, M\subset X가 닫힌 부분공간이라고 하자. 몫공간 X/M 위에 \lVert x+M\rVert=\inf_{m\in M}\lVert x+m\rVert으로 노름을 주자. 그렇다면 X/M은 바나흐 공간을 이룬다.
  • 모든 분해가능 바나흐 공간은 2몫공간이다. 즉, ℓ2에 닫힌 부분공간 M이 존재하여, X\cong\ell^2/M이다.
  • \{X_i\}_{i=1,\dots,n}이 유한개의 노름공간들의 집합이라면, X=\bigoplus_{i=1}^nX_i에 노름을 \lVert(x_1,\dots,x_n)\rVert=\sum_i\lVert x_i\rVert로 주자. 이 경우, X가 바나흐 공간일 필요충분조건은 모든 X_i가 각각 바나흐 공간인지 여부다.

역사[편집]

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  • Beauzamy, Bernard (1985). 《Introduction to Banach spaces and their geometry》, 2판, North-Holland.
  • (영어) Fabian, Marián, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler (2011년). 《Banach space theory: the basis for linear and nonlinear analysis》, CMS Books in Mathematics , ISSN 1613-5237. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7514-0

바깥 고리[편집]