바나흐 공간

함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach space)은 완비 노름공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$k$가 실수체 $\mathbb R$ 또는 복소수체 $\mathbb C$라고 하자. $k$에 대한 바나흐 공간은 노름을 갖추고, 이 노름으로 정의한 거리가 완비된, $k$에 대한 벡터공간이다.

체 $k$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

성질

• 노름공간 $X$가 바나흐 공간을 이룰 필요충분조건은 모든 절대수렴(absolutely convergent) 수열이 수렴하는지 여부다.
• $X$가 바나흐 공간이고, $Y$가 노름공간이고, $T\colon X\to Y$가 선형 작용소라고 하자. 그렇다면 $T(X)$는 바나흐 공간이다.
• 한-바나흐 정리
• 닫힌 그래프 정리
• 열린 사상 정리(open mapping theorem): $X$, $Y$가 바나흐 공간이고, $T\colon X\to Y$가 유계작용소라면, $T$가 전사함수일 필요충분조건은 $X$의 모든 열린 집합 $U\subset X$의 상 $T(U)\subset Y$가 열린 집합인지 여부다.
  • 이에 따라, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 사상은 항상 바나흐 공간의 동형사상이다.
• $X$가 바나흐 공간이고, $M\subset X$가 닫힌 부분공간이라고 하자. 몫공간 $X/M$ 위에 $\lVert x+M\rVert=\inf_{m\in M}\lVert x+m\rVert$으로 노름을 주자. 그렇다면 $X/M$은 바나흐 공간을 이룬다.
• 모든 가분 바나흐 공간은 ℓ²의 몫공간이다. 즉, ℓ²에 닫힌 부분공간 $M$이 존재하여, $X\cong\ell^2/M$이다.
• $\{X_i\}_{i=1,\dots,n}$이 유한개의 노름공간들의 집합이라면, $X=\bigoplus_{i=1}^nX_i$에 노름을 $\lVert(x_1,\dots,x_n)\rVert=\sum_i\lVert x_i\rVert$로 주자. 이 경우, $X$가 바나흐 공간일 필요충분조건은 모든 $X_i$가 각각 바나흐 공간인지 여부다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.

참고 문헌

• Beauzamy, Bernard (1985). 《Introduction to Banach Spaces and their Geometry》, 2판, North-Holland.

바깥 고리

• (영어) Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein. Banach space. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Mohammad Sal Moslehian. Minimal Banach space. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Mohammad Sal Moslehian. Reflexive Banach space. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Mohammad Sal Moslehian. Prime Banach space. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Mohammad Sal Moslehian. Banach completion. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.