닫힌 그래프 정리

일반위상수학에서 닫힌 그래프 정리(닫힌graph定理, 영어: closed graph theorem)는 하우스도르프 공간으로 가는 연속 함수의 그래프가 닫힌집합이라는 정리다.

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$의 그래프는

$\operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y$

이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 위상 공간 $X$와 하우스도르프 공간 $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $\operatorname {graph} f\subseteq X\times Y$는 닫힌 집합이다.^{:50, Proposition 2.14}

증명:

$f\colon X\to Y$가 연속 함수라고 하자. 임의의 점

$(x,y)\in X\times Y\setminus \operatorname {graph} f$

이 $X\times Y\setminus \operatorname {graph} f$에 포함되는 근방을 갖는다는 것을 보이면 족하다. 정의에 따라, $f(x)\neq y$이다. $Y$가 하우스도르프 공간이므로, $T(x)$ 및 $y$를 포함하는 서로소 열린 근방 $U\ni f(x)$, $V\ni y$가 존재한다. $f$가 연속 함수이므로, $f^{-1}(U)\times V\subseteq X\times Y\setminus \operatorname {graph} f$는 $(x,y)$를 포함하는 근방이다.

함수해석학에서는 바나흐 공간에 대하여 적용되는 더 강한 형태의 닫힌 그래프 정리가 존재한다. 이는 바나흐-샤우데르 정리의 따름정리이다.

외부 링크

• “Closed-graph theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Closed graph theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.