힐베르트 공간

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힐베르트 공간(-空間, Hilbert Space)은 독일수학자 다비트 힐베르트의 이름을 딴 개념으로, 순수히 대수적인 성질만을 지닌 벡터 공간, 길이기하학적 성질을 부여한 개체이다. 수학적으로, 힐베르트 공간이란 완비 내적공간인데, 여기에서 "완비"는 공간에 구멍이 뚫려있지 않아 모든 코시수열극한이 존재함을 뜻하고, "내적공간"은 거리와 각도의 개념이 주어진 추상적 벡터공간이다. 완비성은 힐베르트 공간을 일반적인 내적공간보다 다루기 쉽게 한다. 힐베르트 공간의 예로는 유클리드 공간, L² 공간 등이 있다. 일반적으로, 힐베르트 공간은 유한할 수도 있고, 무한할 수도 있다. 유한 차원의 힐베르트 공간은 유클리드 공간이라 부른다. 후자의 경우, 분해가능 무한차원 힐베르트 공간은 L² 공간이 유일하다.

힐베르트 공간은 수학, 물리학, 공학 등에서 함수공간으로서 널리 사용되며, 특히 편미분방정식양자역학신호처리 등의 분야에서 필수적인 도구이다. 이와 같은 다양한 분야들에 공통된 대수적 구조가 존재함을 인식함으로써 함수해석학은 큰 발전을 이루었다.

힐베르트 공간은 서로 수직이고 길이가 1인 벡터들로 이루어진 정규직교기저를 가지며, 이를 통해 유클리드 공간에서 직교좌표계를 사용할 때처럼 각 원소들의 좌표를 유일하게 지정할 수 있다. 즉, 힐베르트 공간은 제곱의 합이 유한수열들의 집합으로 볼 수 있다. 또한 힐베르트 공간 위의 선형 연산자는 적절한 경우 공간을 서로 수직인 방향들로 잡아 늘리는 변환으로 볼 수 있다.

정의[편집]

힐베르트 공간이란 실 내적공간으로서 내적으로부터 주어지는 노름에 대해 완비인 공간이다. 이 정의에서 스칼라를 실수에서 복소수로 바꾸면 복소 힐베르트 공간이 된다.

설명[편집]

  1. 실벡터공간 혹은 복소벡터공간 H 상의 내적 \langle\cdot,\cdot\rangle은 다음과 같이 노름을 준다:
    \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.
  2. 함수공간 등의 무한차원 공간을 다룰 때 완비성은 매우 중요한 조건이다. 이 조건이 없으면 리스 표현 정리 등도 성립하지 않는다.
  3. 완비인 노름공간을 바나흐 공간이라 한다. 따라서 힐베르트 공간은 바나흐 공간이며, 다음의 '평행사변형 등식'이 성립한다:
    \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2+\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2=2(\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2).
  4. 역으로, 평행사변형 등식이 성립하는 바나흐 공간에는 내적이 유일하게 주어지며, 이로 인해 이는 힐베르트 공간이 된다.
  5. 일부 저자는 위와 약간 다른 정의를 사용한다. 예를 들어 Kolmogorov-Fomin[1]는 위의 힐베르트 공간의 정의에 분해가능한 무한차원 공간이어야 한다는 조건을 추가한다. 이 조건을 만족하는 공간의 동형류는 유일하며, 이를 l^2(N) 혹은 l^2로 나타낸다. 그러나 이 글에서는 힐베르트 공간의 정의에 이 추가 조건을 덧붙이지 않기로 한다.
  6. 예전의 책이나 논문에서는 힐베르트 공간을 "유니터리 공간"(unitary space) 혹은 "내적이 주어진 선형공간"(linear space with an inner product)이라 부르기도 했지만 현재는 사용되지 않는 용어이다.

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실수열 a = \{a_i\}_{i=1^\infty}중에,

\sum_{i=1}^\infty a_i^2 < \infty

을 만족하는 수열 전체를 l^2로 표시한다. a + b = \{a_i + b_i\}, \alpha a = \{\alpha a_i\}로 벡터간의 연산과 스칼라배를 정의할 수 있고, 이 집합은 벡터공간이 된다. l^2에서, 내적 \langle a, b\rangle

(a,b) = \left(\sum_{i=1}^\infty a_i\cdot b_i\right)

로 정의하면,  ||a|| = \sqrt{\langle a, a\rangle}는 완비성을 갖춘 노름이 된다. 따라서, l^2는 힐베르트 공간이다.

주어진 조건을 만족하는 복소수로 이루어진 수열의 집합도, 같은 방법으로 힐베르트 공간이 된다.

참고자료[편집]

  1. Kolmogorov, Andrey, S. V. Fomin (1970). 《Introductory Real Analysis》, Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975), Dover Press. ISBN 0-486-61226-0