힐베르트 공간

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함수해석학에서, 힐베르트 공간(Hilbert空間, 영어: Hilbert space)은 모든 코시 열의 극한이 존재하는 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

K\mathbb R 또는 \mathbb C라고 하자. K-힐베르트 공간 (\mathcal H,\langle\cdot,\cdot\rangle)완비 거리공간을 이루는 K-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상공간거리 공간벡터 공간노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, K-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 K-바나흐 공간 (\mathcal H,\|\cdot\|)으로 정의할 수 있다.

\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)\qquad\forall u,v\in\mathcal H

이 경우, 내적 구조는

\langle u,v\rangle=\begin{cases}
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)&K=\mathbb R\\
\frac14\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)&K=\mathbb C\\
\end{cases}

가 된다.

분류[편집]

힐베르트 공간 \mathcal H정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis) B\subset\mathcal H는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

  • 모든 e,e'\in B에 대하여,
\langle e,e'\rangle=\begin{cases}0&e\ne e'\\1&e=e'\end{cases}
\operatorname{Span}B=\left\{a_1e_1+\cdots+a_ne_n|n\in\mathbb N,\;e_1,\dots,e_n\in B,\;a_1,\dots,a_n\in K\right\}\subset\mathcal H

초른의 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 \dim\mathcal H이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 \operatorname{Span}B=\mathcal H를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 \operatorname{Span}B가 오직 조밀집합임이 족하기 때문이다.

K-힐베르트 공간 \mathcal H, \mathcal H' 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:1.4.19–1.4.21

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, K-힐베르트 공간 \mathcal H에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:1.4.23

즉, 분해가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 \aleph_0이다.

성질[편집]

리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 \mathcal H는 스스로의 연속쌍대공간 \mathcal H^*와 동형이며, 만약 K=\mathbb R일 경우 이는 표준적(영어: canonical) 동형이다.

[편집]

K\mathbb R 또는 \mathbb C라고 하고, (X,\mathcal F,\mu)측도공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 L^2(X,K)K-힐베르트 공간을 이룬다.[1]:1.4.9

만약 X가 셈측도가 부여된 집합이라면

\dim L^2(X,K)=|X|

이며, 함수

f_x\colon X\to K\qquad(x\in X)
f_x(y)=\begin{cases}1&x=y\\0&x\ne y\end{cases}

L^2(X,K)의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 \mathcal F분해가능 시그마 대수(d(A,B)=\mu(A\setminus B\cup B\setminus A)로 정의한 거리 공간분해가능 공간인 경우)이며, 또한 X가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, L^2(X,K)분해가능 공간이다.[1]:1.3.9

응용[편집]

힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분방정식 이론에서 널리 쓰인다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간분해가능 힐베르트 공간으로 나타내어진다. 이 밖에도, 신호처리에도 힐베르트 공간이 응용된다.

역사[편집]

다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 \ell^2(\mathbb N)을 정의하였다.[2] 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만[3]이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Tao, Terrence. 《Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog》, Graduate Studies in Mathematics 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1
  2. (독일어) Hilbert, David (1912년). 《Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen》, Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal 3. B. G. Teubner. JFM 43.0423.01
  3. (독일어) von Neumann, J. (1929년). Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. 《Mathematische Annalen》 102: 49–131. doi:10.1007/BF01782338. JFM 55.0824.02. ISSN 0025-5831.

바깥 고리[편집]