양자수

양자수(量子數, quantum number)는 양자계를 묘사하기 위해 쓰이는 수다. 양자화되어, 대개 정수거나 반홀수(half-integer)다. 많은 경우 원자 안에서의 전자의 에너지 등을 묘사하며, 그 외에도 각운동량이나 스핀 등에 대한 정보를 담기도 한다.

원자 안의 홑전자

원자 안의 홑전자(single electron)를 묘사하는 양자수는 주기율표와 원자가 등의 화학적 현상의 뒤에 숨은 원인일 뿐만 아니라 기초 양자역학의 연습 문제로서도 난이도가 적절하여 많은 교재에 나타난다.

비상대론적 양자역학에서 이 계의 해밀토니언은 전자의 운동 에너지 및 원자핵과의 사이에 작용하는 정전기력으로 인한 위치 에너지로 이루어져 있다. 운동 에너지는 원자핵을 중심으로 하는 회전에 의한 각운동량 J와 나머지로 나눌 수 있다. 여기에서 위치 에너지는 구면 대칭을 이루므로 전체 해밀토니언은 J²와 교환하며, J²는 각운동량 벡터의 임의의 성분(이를 보통 J_z로 쓴다)와 교환한다. 여기서 서로 교환하는 작용소는 이뿐이므로, 양자수는 총 3개이다. 이들을 각각 다음과 같이 부른다.

• 주 양자수(principal quantum number) n = 1, 2, 3, ...는 H에서 J² 부분을 제거한 나머지의 고유값이다. 따라서 이는 전자와 원자핵 사이의 거리에만 의존한다. n이 커짐에 따라 평균 거리도 멀어지며, 이를 두고 서로 주양자수가 다른 양자상태들은 다른 껍질에 속한다고 말한다.
• 방위 양자수(azimuthal quantum number) l = 0, 1, ..., n-1은 각 양자수 혹은 궤도 양자수라고도 하며, $L^2 = \hbar^2 l(l+1)$ 관계에 따라 궤도상의 각운동량을 준다. 이는 화학에서 매우 중요한데, 이 수가 원자 궤도를 결정하고 화학적 결합과 결합각에 큰 영향을 미치기 때문이다. 책에 따라 약간씩 다르지만, 많은 경우 l = 0을 s 궤도, l = 1을 p 궤도, l = 2를 d 궤도, l = 3을 f 궤도라 한다.
• 자기 양자수(magnetic quantum number) m_l = -l, -1+1, ..., 0, ..., l-1, l은 $L_z = m_l \hbar$의 고유값이다. 이는 궤도상의 각운동량을 특정한 축에 대해 사영한 것이다.
• 자기 스핀 양자수(magnetic spin quantum number) m_s = +1/2 혹은 -1/2. 파울리 배타 원리에 따르면, 한 오비탈에 양자수가 같은 전자가 존재할 수 없고 서로 반대방향을 가리키게 되는데, 이를 + 혹은 -1/2로 나타낸다.