브라-켓 표기법

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브라-켓 표기법(bra-ket -)은 양자 역학의 상태를 기술하는 수학적 표기법이다. 이 표기법은 폴 디랙이 처음 고안하여 디랙 표기법이라고도 한다. 이 표기법에서 $\langle\phi|$ 를 브라(bra), $|\psi\rangle$ 을 켓(ket)이라 부른다. 이 이름은 두 상태벡터 간의 내적 $\langle\phi|\psi\rangle$ 을 꺾쇠괄호(bracket)를 이용하여 나타내는 데서 유래하였다.

[편집] 브라와 켓

양자 역학에서, 계의 상태는 힐베르트 공간 H의 벡터로 나타낸다. 각 상태벡터는 켓(ket)벡터라고 하고,

$|\psi\rangle$

와 같이 쓴다. 여기서 $ψ$ 는 어떤 상태를 나타내는 문자이다.

H의 쌍대공간(dual space)의 원소(즉, H에서 C로의 선형 연속 함수)는 브라(bra)벡터이고,

$\langle\phi|$

와 같이 쓴다. 여기서 $φ$ 는 어떤 상태를 나타내는 문자이다.

브라벡터 $\langle\phi|$ 를 켓벡터 $|\psi\rangle$ 에 적용하면, 어떤 복소수가 되고,

$\langle\phi|\psi\rangle$ .

와 같이 쓴다.

모든 켓 $|\psi\rangle$ 에는 쌍대 브라(dual bra) $\langle\psi|$ 가 대응하고, 이는 H 위의 선형함수이며

임의의 켓 $|\rho\rangle$ 에 대하여 $\langle\psi|\rho\rangle = ( |\psi\rangle , |\rho\rangle )$

와 같이 정의한다. 위 정의에서 우변의 ( , )는 힐베르트 공간에서 정의된 내적을 나타낸다. 쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓 벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 $\langle\psi|$ 는 잘 정의된다.

[편집] 브라-켓의 성질

임의의 브라 $\langle\phi|$ , 켓 $|\psi_1\rangle$ 과 $|\psi_2\rangle$ , 그리고 복소수 $c 1$ , $c 2$ 에 대해, 브라는 선형 범함수(linear functional)이기 때문에, 다음이 성립한다.

임의의 브라 $\langle\phi_1|$ 과 $\langle\phi_2|$ , 켓 $|\psi\rangle$ , 그리고 복소수 $c 1$ , $c 2$ 에 대해, 다음이 성립한다.

임의의 켓 $|\psi_1\rangle$ 과 $|\psi_2\rangle$ , 복소수 $c 1$ , $c 2$ 에 대해, 내적의 성질에 의해 다음이 성립한다. (*는 켤레복소수를 뜻한다.)

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ 와 $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$ 는 서로 쌍대이다.

임의의 브라 $\langle\phi|$ 와 켓 $|\psi\rangle$ 에 대해, 다음이 성립한다.

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$ .

[편집] 선형연산자와 브라-켓

A : H→H 가 선형연산자일 때, A를 켓 $|\psi\rangle$ 에 작용하여 다른 켓 $(A|\psi\rangle)$ 을 얻는다. 연산자는 브라에 작용할 수도있다. A를 브라 $\langle\phi|$ 에 작용하면, 브라 $(\langle\phi|A)$ 를 얻으며, 다음이 성립한다.