브라-켓 표기법
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브라-켓 표기법(bra-ket -)은 양자 역학의 상태를 기술하는 수학적 표기법이다. 이 표기법은 폴 디랙이 처음 고안하여 디랙 표기법이라고도 한다. 이 표기법에서
를 브라(bra),
을 켓(ket)이라 부른다. 이 이름은 두 상태벡터 간의 내적
을 꺾쇠괄호(bracket)를 이용하여 나타내는 데서 유래하였다.
[편집] 브라와 켓
양자 역학에서, 계의 상태는 힐베르트 공간 H의 벡터로 나타낸다. 각 상태벡터는 켓(ket)벡터라고 하고,
와 같이 쓴다. 여기서 ψ는 어떤 상태를 나타내는 문자이다.
H의 쌍대공간(dual space)의 원소(즉, H에서 C로의 선형 연속 함수)는 브라(bra)벡터이고,
와 같이 쓴다. 여기서 φ는 어떤 상태를 나타내는 문자이다.
브라벡터
를 켓벡터
에 적용하면, 어떤 복소수가 되고,
.
와 같이 쓴다.
모든 켓
에는 쌍대 브라(dual bra)
가 대응하고, 이는 H 위의 선형함수이며
- 임의의 켓
에 대하여 
와 같이 정의한다. 위 정의에서 우변의 ( , )는 힐베르트 공간에서 정의된 내적을 나타낸다. 쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓 벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해
는 잘 정의된다.
[편집] 브라-켓의 성질
- 임의의 브라
, 켓
과
, 그리고 복소수 c1, c2에 대해, 브라는 선형 범함수(linear functional)이기 때문에, 다음이 성립한다.
-
.
- 임의의 브라
과
, 켓
, 그리고 복소수 c1, c2에 대해, 다음이 성립한다.
-
.
- 임의의 켓
과
, 복소수 c1, c2에 대해, 내적의 성질에 의해 다음이 성립한다. (*는 켤레복소수를 뜻한다.)
-
와
는 서로 쌍대이다.
- 임의의 브라
와 켓
에 대해, 다음이 성립한다.
-
.
[편집] 선형연산자와 브라-켓
A : H→H 가 선형연산자일 때, A를 켓
에 작용하여 다른 켓
을 얻는다. 연산자는 브라에 작용할 수도있다. A를 브라
에 작용하면, 브라
를 얻으며, 다음이 성립한다.
.
따라서 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
.
H 위에서 선형연산자를 정의하는 편한 방법은 외적을 이용하는 것이다. 만약 브라
와 켓
에 대하여, 외적
는, 켓
을 켓
으로 보낸다. (즉 켓
에 스칼라
를 곱한 것이다.)
외적을 사용하여 정사영 연산자를 만들 수 있다. 노름이 1인 켓
으로 생성되는 부분공간으로 정사영하는 연산자는
로 정의된다.


