브라-켓 표기법

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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양자역학에서, 브라-켓 표기법(bra–ket notation)은 선형대수학의 연산을 꺾쇠괄호로 나타내는 수학적 표기법이다. 폴 디랙이 1939년에 고안하였고, 이 때문에 디랙 표기법이라고도 한다.

이 표기법에서 〈ϕ| 를 브라(bra), |ψ〉 을 켓(ket)이라 부른다. 그 어원은 괄호를 뜻하는 영단어 bracket 브래킷^[*]에서 유래하였다. 두 벡터의 내적 〈ϕ|ψ〉을 괄호로 표기하므로, bracket 브래킷^[*]을 bra + ket으로 나눈 것이다.

브라와 켓

계의 상태는 복소 힐베르트 공간 H의 벡터로 나타낸다. 이를 켓벡터(ket vector)라고 하고, |ψ〉 로 쓴다. 여기서 H 를 켓공간(ket space)이라 하기도 한다.

켓공간 H 의 쌍대공간 H^* 의 원소는 브라벡터(bra vector)라고 하고, 〈ϕ| 라 쓴다. 브라벡터는 쌍대공간의 원소이므로 켓공간에서 복소수로의 선형연속함수 〈ϕ| : H → C 이다. 켓공간과 마찬가지로 H^* 를 브라공간(bra space)이라 하기도 한다.

모든 켓 |ψ〉 에는 대응되는 쌍대 브라(dual bra) 〈ψ| 가 있으며, 아래와 같이 정의한다.

임의의 켓 |ρ〉 에 대하여 〈ψ|ρ〉 = 〈ψ, ρ〉

위 정의에서 우변의 〈·, ·〉 는 힐베르트 공간의 내적을 나타낸다.

쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 〈ψ| 는 다음과 같이 켓벡터 |ψ〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다.

$| \psi \rangle \quad \overset{\mathrm{DC}}{\leftrightarrow} \quad \langle \psi |$

브라와 켓의 성질

• 임의의 브라 〈ϕ|, 켓 |ψ₁〉, |ψ₂〉, 그리고 복소수 c₁, c₂에 대해, 브라는 선형 범함수이기 때문에, 다음이 성립한다.

$\langle\phi|(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle$.

• 임의의 브라 〈ϕ₁|, 〈ϕ₂|, 켓 |ψ〉, 그리고 복소수 c₁, c₂에 대해, 다음이 성립한다.

$(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|)|\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle$.

• 임의의 켓 |ψ₁〉, |ψ₂〉, 복소수 c₁, c₂ 에 대해, 내적의 성질에 의해 다음이 성립한다. (*는 켤레복소수를 뜻한다.)

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \quad \overset{\mathrm{DC}}{\leftrightarrow} \quad c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$

• 임의의 브라 〈ϕ| 와 켓 |ψ〉 에 대해, 다음이 성립한다.

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$.

선형연산자와 브라-켓

A : H→H 가 선형연산자일 때, A를 켓 $|\psi\rangle$에 작용하여 다른 켓 $(A|\psi\rangle)$을 얻는다. 연산자는 브라에 작용할 수도있다. A를 브라 $\langle\phi|$에 작용하면, 브라 $(\langle\phi|A)$를 얻으며, 다음이 성립한다.

$(\langle\phi|A) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; (A|\psi\rangle)$.

따라서 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

$\langle\phi|A|\psi\rangle$.

H 위에서 선형연산자를 정의하는 편한 방법은 외적을 이용하는 것이다. 만약 브라 $\langle\phi|$와 켓 $|\psi\rangle$에 대하여, 외적 $|\phi\rangle\langle\psi|$는, 켓 $|\rho\rangle$을 켓 $|\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle$으로 보낸다. (즉 켓 $|\phi\rangle$에 스칼라 $\langle\psi|\rho\rangle$를 곱한 것이다.)

외적을 사용하여 정사영 연산자를 만들 수 있다. 노름이 1인 켓 $|\psi\rangle$으로 생성되는 부분공간으로 정사영하는 연산자는

$|\psi\rangle\langle\psi|$

로 정의된다.

참고 문헌

• Gieres, François (2000년). Mathematical surprises and Dirac's formalism in quantum mechanics. 《Reports on Progress in Physics》 63 (12): 1893. doi:10.1088/0034-4885/63/12/201. arXiv:quant-ph/9907069