노름 공간

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선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm 놈^[*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

통상적 정의

$\mathbb {K}$-벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 두 조건들을 만족시키는 함수

$\lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty )$

$\lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert$

이다.^{:25, §1.33}

• (양의 동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $\Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert$
• (삼각 부등식) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $\Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

반노름이 주어진 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $(V,\lVert \cdot \rVert )$을 $\mathbb {K}$-반노름 공간이라고 한다.

$V$ 위의 노름은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름 $\lVert \cdot \rVert$이다.^{:3–4, §1.2}

• (양의 정부호성) 모든 $v\in V$에 대하여, $\Vert v\Vert =0$임은 $v=0$임과 동치이다.

노름이 주어진 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $(V,\lVert \cdot \rVert )$을 $\mathbb {K}$-노름 공간이라고 한다.^{:3–4, §1.2}

민코프스키 범함수를 통한 정의

$\mathbb {K}$-벡터 공간 $V$의 부분 집합 $S\subseteq V$의 민코프스키 범함수(영어: Minkowski functional)는 다음과 같다.

$\mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]$

$\mu _{S}(v)=\inf\{t\in \mathbb {R} ^{+}\colon v\in tS\}$

$\mathbb {K}$-벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 조건을 만족시키는 함수

$\lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]$

$\lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert$

이다.

• 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다.

(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다. 반노름 공간과 노름 및 노름 공간의 정의는 통상적 정의에서와 같다.

연산

직합

$\mathbb {K}$-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(V_{i})_{i\in I}$과 실수 $1\leq p<\infty$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합

$V=\bigoplus _{i}V_{i}$

에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}$

그렇다면, $(V,\lVert \cdot \rVert _{p})$ 역시 노름 공간을 이룬다.

부분 공간과 몫

$\mathbb {K}$-노름 공간 $V$의 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $W\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $W$에 $V$의 노름을 제한한 것을 부여하면, $W$ 역시 $\mathbb {K}$-노름 공간을 이룬다.

$\mathbb {K}$-노름 공간 $V$의 닫힌 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $W\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 $V/W$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\|v+W\|_{V/W}=\inf _{w\in W}\|v+w\|_{V}$

그렇다면 $V/W$ 역시 $\mathbb {K}$-노름 공간을 이룬다.

연속 쌍대 공간

 이 부분의 본문은 연속 쌍대 공간입니다.

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(V,\|\|)$의 연속 쌍대 공간 $V'$ 위에는 쌍대 노름

$\|f\|_{V'}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|f(v)|}{\|v\|_{V}}}$

을 부여할 수 있으며, 이에 따라 $V'$ 역시 $\mathbb {K}$-노름 공간을 이룬다.

하우스도르프화

임의의 $\mathbb {K}$-반노름 공간 $(V,\|\|)$에 대하여, 다음과 같은 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간을 정의하자.

$N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}$

그렇다면, 몫공간 $V/N$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

완비화

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(V,\|\|)$의 (거리 공간으로서의) 완비화 ${\bar {V}}$ 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

$\|{\bar {v}}\|_{\bar {V}}=\lim _{i\to \infty }\|v_{i}\|_{V}\qquad ({\bar {v}}\in V)$

여기서 $(v_{i})_{i\in \mathbb {N} }$는 ${\bar {v}}$로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 ${\bar {V}}$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 $\mathbb {K}$-선형 등거리 변환

$V\hookrightarrow {\bar {V}}$

가 존재하여, $V$를 ${\bar {V}}$의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 $V$가 이미 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

성질

$\mathbb {K}$-반노름 공간 $V$ 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.

$d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad (u,v\in V)$

만약 $V$가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, $\mathbb {K}$-반노름 공간은 항상 $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간을 이룬다.

두 $\mathbb {K}$-반노름 공간 사이의 $\mathbb {K}$-선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$\mathbb {K}$-노름 공간	⇐	$\mathbb {K}$-내적 공간
⇑		⇑
$\mathbb {K}$-바나흐 공간	⇐	$\mathbb {K}$-힐베르트 공간

즉, $\mathbb {K}$-노름 공간 $(V,\|\|)$가 주어졌을 때,

• 만약 $(u,v)\mapsto (\|u+v\|-\|u-v\|)/2$가 $\mathbb {K}$-쌍선형 형식을 이루면, $(V,\|\|)$는 $\mathbb {K}$-내적 공간을 이룬다.
• 만약 완비 거리 공간이라면, $(V,\|\|)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.
• 만약 $(V,\|\|)$가 $\mathbb {K}$-내적 공간이자 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라면, $(V,\|\|)$를 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간이라고 한다.

노름화 가능성

$\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$를 반노름화 가능 공간(영어: seminormable space)이라고 한다.^{:30, Theorem 1.39}

• $V$의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
• 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, $0\in V$가 볼록 유계 근방을 갖는다.

하우스도르프 반노름화 가능 공간을 노름화 가능 공간(영어: seminormable space)라고 한다. 즉, 위와 마찬가지로, $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$를 노름화 가능 공간이라고 한다.^{:30, Theorem 1.39}

• $V$의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
• 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

예

모든 벡터 공간에서 자명 반노름(영어: trivial seminorm) $\Vert v\Vert =0$은 반노름을 이루지만, 이는 ($V$가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

체

체 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 $\Vert a\Vert =|a|$은 노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름

 이 부분의 본문은 Lp 공간입니다.

서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원.

임의의 $1\leq p\leq \infty$에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 다음과 같은 노름 $\lVert \cdot \rVert _{p}$을 정의할 수 있으며, 이를 L^p 노름이라고 한다.

$\Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

여기서 $p=2$인 경우는 표준적인 유클리드 노름

$\Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$

이다. 만약 $p=\infty$일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

$\Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}$

이 된다. $p=1$인 경우는 맨해튼 노름

$\Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

이 된다.

$\ell ^{p}$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{4}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

$\Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}$

그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

외부 링크

• “Norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normed space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Seminorm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pre-norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Seminorm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Norm”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: norm (vector space)”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 1월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 26일에 확인함. 
• “Is a normed space which is homeomorphic to a Banach space complete?” (영어). Math Overflow.