양자 논리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

논리학양자역학에서, 양자 논리(量子論理, 영어: quantum logic)는 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

전개[편집]

양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 \mathcal H인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 |\psi\rangle\in\mathcal H라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) V\subset\mathcal H\mathcal H의 닫힌 부분벡터공간이라고 할 때, 이에 대한 사영 연산자

\pi_V(V)=V
\pi_V(V^\perp)=\{0\}

를 정의할 수 있다. 사영 연산자 \pi_V고윳값이 0 또는 1인 에르미트 연산자이며, 따라서 (초선택 규칙을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 V를 "\pi_V를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다.

주요 대응되는 대상은 다음과 같다.

힐베르트 공간 논리학
닫힌 부분벡터공간 V 명제 \phi
힐베르트 공간 전체 \mathcal H \top
0차원 부분공간 \{0\} 거짓 \bot
두 닫힌 부분공간의 합공간 V\oplus V' 두 명제의 논리합 \phi\lor\phi'
두 닫힌 부분공간의 교집합 V\cap V' 두 명제의 논리곱 \phi\land\phi'
닫힌 부분공간의 직교 여공간 V^\perp 명제의 부정 \lnot\phi
두 닫힌 부분집합의 일치 V=V' 명제의 동치 \phi\iff\phi'
두 닫힌 부분집합의 포함 관계 V\subseteq V' 명제의 함의 \phi\implies\phi'
두 닫힌 부분집합의 직교 관계 V\perp V' 두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)

이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 \mathcal H의 닫힌 부분공간들은 격자의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자(영어: orthomodular lattice)의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합(\lor)·논리곱(\land)·부정(\lnot) 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다.

  • (논리곱의 결합법칙) \phi\land(\phi\land\psi)\iff(\phi\land\phi)\land\psi
  • (논리합의 결합법칙) \phi\lor(\phi\lor\psi)\iff(\phi\lor\phi)\lor\psi
  • (논리곱의 교환법칙) \phi\land\chi\iff\chi\land\phi
  • (논리합의 교환법칙) \phi\lor\chi\iff\chi\lor\phi
  • (이중 부정의 상쇄) \lnot\lnot\phi\iff\phi
  • (배중률) \top\iff\phi\lor\lnot\phi
  • (비모순율) \bot\iff\phi\land\lnot\phi
  • (드 모르간의 법칙) \lnot(\phi\land\chi)\iff\lnot\phi\lor\lnot\chi, \lnot(\phi\lor\chi)\iff\lnot\phi\land\lnot\chi
  • (논리곱의 흡수법칙) \top\land\phi\iff\phi, \bot\land\phi\iff\bot
  • (논리합의 흡수법칙) \top\lor\phi\iff\top, \bot\lor\phi\iff\phi

또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서 X\vdash YX로부터 Y를 유추한다는 뜻이다.

  • (대우의 유추) \phi\implies\chi\vdash\lnot\chi\implies\lnot\phi
  • (직교모듈러성) \phi\implies\chi\vdash\phi\lor(\lnot\phi\land\chi)\iff\chi

여기서 함의 관계 \phi\implies\chi는 동치 관계를 사용해 \phi\lor\chi\iff\chi 또는 \phi\iff\phi\land\chi로 정의된다.

고전 논리와의 비교[편집]

고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배법칙이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.

그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,

\phi=\operatorname{Span}\{|1\rangle\}
\chi=\operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}
\psi=\operatorname{Span}\{|1\rangle-|2\rangle\}

일 때,

\phi\land(\chi\lor\psi)=\phi\ne(\phi\land\chi)\lor(\chi\land\psi)=\bot
\phi\lor(\chi\land\psi)=\phi\ne(\phi\lor\chi)\land(\chi\lor\psi)=\top

이다.

다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

[편집]

양자 논리를 사용하여, 스핀과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 +\hbar/2 또는 -\hbar/2를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은

\mathcal H=\mathbb C^2=\operatorname{Span}\{|1\rangle,|2\rangle\}

이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.)

  • \sigma_x: 스핀의 x성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle+|2\rangle\}에 대응한다.
  • \sigma_y: 스핀의 y성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle+i|2\rangle\}에 대응한다.
  • \sigma_z: 스핀의 z성분이 +\hbar/2이다. 이 명제는 \operatorname{Span}\{|1\rangle\}에 대응한다.

이들로부터 다음을 유추할 수 있다. \phi,\chi\in\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\lnot\sigma_x,\lnot\sigma_y,\lnot\sigma_z\}이며 \phi\ne\chi\phi\ne\lnot\chi라고 하자.

  • \vdash\top\iff\phi\lor\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다.
  • \vdash\bot\iff\phi\land\chi. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다.
  • \nvdash\phi\implies\chi. 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다.

물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.

역사[편집]

개릿 버코프(영어: Garrett Birkhoff)와 존 폰 노이만이 1936년에 도입하였다.[1] 이후 힐러리 퍼트넘은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉(영어: Is logic empirical?)에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Birkhoff, Garrett, J. von Neumann (1936년). The logic of quantum mechanics. 《Annals of Mathematics》 37 (4): 823–843. doi:10.2307/1968621. JSTOR 1968621.
  2. (영어) Putnam, H. (1969년). 〈Is logic empirical?〉, 《Proceedings of the Boston colloquium for the philosophy of science 1966/1968》, Boston Studies in the Philosophy of Science 5, ISSN 0068-0346. Springer, 216–241쪽. doi:10.1007/978-94-010-3381-7_5. ISBN 978-94-010-3383-1 재출판 (영어) Putnam, H. (1979년). 〈The logic of quantum mechanics〉, 《Mathematics, matter and method》, 2판, Cambridge University Press, 174-197쪽. doi:10.1017/CBO9780511625268.012. ISBN 978-052122553-3
  • (영어) Auyang, S. (1995년). 《How is quantum field theory possible?》. Oxford University Press
  • (영어) Bayen, F., M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978년). Deformation theory and quantization I. 《Annals of Physics》 111: 61-110.
  • (영어) Bayen, F., M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer (1978년). Deformation theory and quantization II. 《Annals of Physics》 111: 111-151.
  • (영어) Cohen, D. (1989년). 《An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic》. Springer
  • (영어) Finkelstein, D. (1969년). 《Matter, space and logic》, Boston Studies in the Philosophy of Science 5
  • (영어) Gleason, A. (1957년). Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. 《Journal of Mathematics and Mechanics》.
  • (영어) Kadison, R. (1951년). Isometries of operator algebras. 《Annals of Mathematics》 54: 325-338.
  • (영어) Ludwig, G. (1983년). 《Foundations of quantum mechanics》. Springer
  • (영어) Mackey, G. (1963년). 《Mathematical foundations of quantum mechanics》. W. A. Benjamin
  • (영어) von Neumann, J. (1955년). 《Mathematical foundations of quantum mechanics》. Princeton University Press
  • (영어) Omnès, R. (1999년). 《Understanding quantum mechanics》. Princeton University Press
  • (영어) Papanikolaou, N. (2005년). Reasoning formally about quantum systems: An Overview. 《ACM SIGACT News》 36 (3): 51–66.
  • (영어) Piron, C. (1976년). Foundations of quantum physics.
  • (영어) Weyl, H. (1950년). 《The theory of groups and quantum mechanics》. Dover Publications

바깥 고리[편집]