양자역학의 수학적 공식화

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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양자역학의 수학적 공식화는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 양자역학과 함께 발전해 온 순수수학의 분야인 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더이상 위상공간 상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고유값으로 다루어진다.

전개

편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.

1. 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 $\mathcal H$의 1차원 부분공간 $V\subset\mathcal H$으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 $|\psi\rangle\in V$(정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 상태 벡터(state vector)라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합을 정의할 수 있고(trace-class), 대각합이 1인 에르미트 연산자 $\rho$로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
2. 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반(self-adjoint) 선형 연산자 $A\colon\operatorname{dom}(A)\to\operatorname{dom}(A)$로 나타낸다. 여기서 $\operatorname{dom}(A)$ ($A$의 정의역)는 힐베르트 공간 $\mathcal H$의 조밀 선형 부분공간이다.
3. 계 $|\psi\rangle$와 관측가능량 $A$가 주어지면, 그 기대값은 $\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$이다. 대신 밀도 연산자 $\rho$로는 $\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A)$이다.
4. 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 $H$가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.

$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle$

여기서 $\hbar$는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 $\rho$를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.

$i\hbar \frac{d}{dt}\rho(t)=[H(t),\rho(t)]$

이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

참고 문헌

• Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators》, Graduate Studies in Mathematics vol. 99, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5