디랙 방정식

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장방정식
스핀 0 클라인-고든 방정식
스핀 ½ 디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1 맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½ 라리타-슈윙거 방정식
스핀 2 아인슈타인 방정식
v  d  e  h

디락 방정식(Dirac 方程式)은 스핀이 ½인 페르미온을 나타내는 상대론양자 파동 방정식이다. 디랙 방정식은 손지기 대칭시공 반전성을 따르고, 입자가 반입자와 다른, 스핀 ½ 페르미온을 기술한다. 이 때문에 손지기 대칭을 지키는 이론(양자전기역학 등)에서 전자를 기술할 때 쓴다. 만약 입자가 그 반입자와 동일할 경우 마요라나 방정식을 쓰고, 표준 모형과 같이 손지기 대칭을 따르지 않으면 바일 방정식을 사용한다.

역사[편집]

1928년폴 디랙이 발표하였다.[1][2] 이 방정식을 사용하여, 디랙은 반입자의 존재를 예측하였다. 이는 1933년에 칼 데이비드 앤더슨양전자를 발견함으로써 실험적으로 검증되었다.[3]

수학적 공식[편집]

상대론적으로 쓰면, 디랙 방정식은 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

-i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m c \psi = 0

여기서 \gamma^\mu디랙 행렬이다. 이 중 \gamma^0에르미트 행렬이고, 나머지는 반에르미트 행렬이다. 이들은 민코프스키 메트릭 \eta^{\mu\nu}와 다음과 같은 관계를 가진다.

\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}

여기서 \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}반교환자(anticommutator)를 뜻한다. 즉, 디랙 행렬은 민코프스키 공간에 대해 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 이룬다. (이를 디랙 대수라 칭한다.)

파인먼 표기법을 이용하면, 디랙 방정식은 다음과 같다.

(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0

클라인-고든 방정식과의 관계[편집]

클라인-고든 방정식

(\partial^2 + m^2)\psi = 0

인수분해하자.

(i\partial\!\!\!/ + m)(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0

두 번째 부분은 디랙 방정식과 일치한다. 즉, 모든 디랙 방정식의 해는 클라인 고든 방정식도 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

디랙방정식의 한계[편집]

기대와는 달리 디랙방정식은  S 오비탈(L =0)을 기술할 수 없다. 중심력장을 포함한 모든 경우에 해당한다. 
이건 치명적인 문제로 디랙방정식이 잘못된 방정식임을 보여준다.
  


참고 문헌[편집]

  1. Dirac, P. A. M. (1928년). The Quantum Theory of the Electron. 《Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences》 117 (778): 610–624. doi:10.1098/rspa.1928.0023.
  2. Dirac, P. A. M. (1930년). A Theory of Electrons and Protons. 《Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences》 126 (801): 360–365. doi:10.1098/rspa.1930.0013.
  3. Anderson, Carl David (1933년). The Positive Electron. 《Physical Review》 43 (6): 491–494. doi:10.1103/PhysRev.43.491.

같이 보기[편집]