디랙 방정식

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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장방정식

스핀 0	클라인-고든 방정식
스핀 ½	디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1	맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½	라리타-슈윙거 방정식
스핀 2	아인슈타인 방정식

디랙 방정식(Dirac 方程式)은 스핀이 ½인 페르미온을 나타내는 상대론적 양자 파동 방정식이다. 디랙 방정식은 손지기 대칭 및 시공 반전성을 따르고, 입자가 반입자와 다른, 스핀 ½ 페르미온을 기술한다. 이 때문에 손지기 대칭을 지키는 이론(양자전기역학 등)에서 전자를 기술할 때 쓴다. 만약 입자가 그 반입자와 동일할 경우 마요라나 방정식을 쓰고, 표준 모형과 같이 손지기 대칭을 따르지 않으면 바일 방정식을 사용한다.

역사

1928년에 폴 디랙이 발표하였다. 이 방정식을 사용하여, 디랙은 반입자의 존재를 예측하였다. 이는 1933년에 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견함으로서 실험적으로 검증되었다.

수학적 공식

상대론적으로 쓰면, 디랙 방정식은 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

$-i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m c \psi = 0$

여기서 $\gamma^\mu$는 디랙 행렬이다. 이 중 $\gamma^0$은 에르미트 행렬이고, 나머지는 반에르미트 행렬이다. 이들은 민코프스키 메트릭 $\eta^{\mu\nu}$와 다음과 같은 관계를 가진다.

$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}$

여기서 $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}$는 반교환자(anticommutator)를 뜻한다. 즉, 디랙 행렬은 민코프스키 공간에 대해 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 이룬다. (이를 디랙 대수라 칭한다.)

파인먼 표기법을 이용하면, 디랙 방정식은 다음과 같다.

$(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0$

클라인-고든 방정식과의 관계

클라인-고든 방정식

$(\partial^2 + m^2)\psi = 0$

을 인수분해하자.

$(i\partial\!\!\!/ + m)(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0$

두 번째 부분은 디랙 방정식과 일치한다. 즉, 모든 디랙 방정식의 해는 클라인 고든 방정식도 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

같이 보기

• 클라인-고든 방정식
• 슈뢰딩거 방정식
• 파동 방정식
• 양자 전기역학
• 스피너
• 치터베베궁