슈뢰딩거 방정식

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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슈뢰딩거 방정식 ( - 方程式, 영어 : Schrödinger equation)은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다. 식은 다음과 같다.

$i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle$

해밀토니안 연산자 $\hat{H}$는 고전적 해밀토니안에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. $|\psi\rangle$는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 $\psi$로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)

역사적 배경과 발견

1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를

$E = h \nu\;$

로 나타내었다. 1924년 루이 드브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 $\psi\;$를 가진다는 드브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해

$p=h / \lambda\;$

의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.

위 식들을 각진동수 $\omega = 2\pi \nu\;$와 파수 $k = 2\pi / \lambda\;$ 및 $\hbar = h / 2 \pi\;$를 이용해 표현하면,

$E=\hbar \omega$ 및

p와 k를 벡터로 표현하면

$\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;$

1925년, 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다:

$\psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}$

그리고 그는

$\frac{\partial}{\partial t} \psi = -i\omega \psi$

이므로

$E \psi = \hbar \omega \psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi$

이며, 마찬가지로

$\frac{\partial}{\partial x} \psi = i k_x \psi$

이므로

$p_x \psi = \hbar k_x \psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \psi$

이고, 따라서

$p_x^2 \psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi$

및 각 방향의 부분들을 더하면

$p^2 \psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \psi = -\hbar^2(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) \psi = -\hbar^2\nabla^2 \psi$

이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식

$E=\frac{p^2}{2m}+V$ (단순히 총 에너지를 운동에너지와 위치에너지의 합으로 나타낸 것이다)

에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.$

상대론적 일반화

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

참고문헌

• E. Schrödinger, Physcal Review 28 1049 (1926)
• 월터 무어 저, 전대호 옮김, 슈뢰딩거의 삶, 사이언스북스

바깥링크

• 네이버 캐스트 - 슈뢰딩거 방정식