클라인-고든 방정식

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장방정식
스핀 0 클라인-고든 방정식
스핀 ½ 디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1 맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½ 라리타-슈윙거 방정식
스핀 2 아인슈타인 방정식
v  d  e  h

양자장론에서, 클라인-고든 방정식(Klein-Gordon方程式, 영어: Klein–Gordon equation), 혹은 클라인-고든-포크 방정식 (Klein-Gordon-Fock 方程式)은 (유사) 스칼라 을 다루는 상대론적 파동 방정식이다. 상대론적인 질량-에너지 동등성 p^2=m^2를 나타낸다.

클라인-고든 방정식을 따르는 장은 슈뢰딩거 방정식처럼 단입자의 확률 진폭으로 해석할 수 없는데, 이는 이 방정식이 시간에 대하여 2차 편미분 방정식이어서 음의 에너지가 존재하고, 또 확률흐름을 보존하지 않기 때문이다.[1] 최근에 발견된 것으로 추측되는 히그스 보손이나, 다른 스칼라 또는 유사스칼라 기본 입자(초대칭에서의 여러 입자 등)나 스핀 0의 복합 입자 (스칼라 중간자 따위)를 다룰 때 유용하다.

클라인-고든 방정식은 특수 상대성 이론질량-에너지 등가성양자역학적으로 쓴 것이므로, 다른 모든 상대론적 파동 방정식의 기본을 이룬다. 예를 들어, 스핀 1/2의 디랙 방정식이나 스핀 1의 프로카 방정식은 클라인-고든 방정식의 특수한 경우다. 즉, 모든 디랙 방정식의 해와 프로카 방정식의 해는 클라인-고든 방정식을 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

정의[편집]

+−−− 계량 부호수를 사용하고, c=\hbar=1로 놓자. 실수 (전하를 가지지 않는) 스칼라 마당의 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

(\partial^2+m^2)\psi=0.

여기서 m은 마당의 양자질량이다.

이 꼴은 방정식

\psi=e^{-ip\cdot x}

평면파 해에 특수 상대성 이론질량-에너지 동등성, 즉

 p^2=m^2

을 가하여 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식과는 달리, 어떤 주어진 3차원 운동량 \mathbf p에 대해 가능한 에너지 p_0값이 양과 음 두가지다.

라그랑지언[편집]

클라인-고든 방정식은 다음 라그랑지언오일러-라그랑주 방정식이다.

\mathcal L=\frac12(\partial\psi)^2-\frac12m^2\psi

역사[편집]

에르빈 슈뢰딩거전자물질파를 기술하는 방정식을 찾다가 1925년 경에 오늘날 클라인-고든 방정식이라 불리는 방정식을 고안하였다. 그러나 이 방정식은 전자의 스핀을 무시하기 때문에, 수소 원자의 전자 구조를 올바르게 예측하지 못한다. 그러나 그는 이 방정식의 비상대적 극한이 유용하다는 것을 깨닫고, 이를 1926년 1월에 출판한다. 이 방정식은 이후 '슈뢰딩거 방정식'이라고 알려진다. 같은 해에 소비에트 연방블라디미르 포크는 슈뢰딩거 방정식을 자기장이 있을 경우로 일반화하여, 클라인-고든 방정식을 유도하였으나, 이는 서방 학계에 잘 알려지지 않았다. 이듬해 (1927년) 오스카르 클레인발터 고르돈이 상대론적 전자를 기술하기 위해 이 방정식을 제시하였고, 이를 따 "클라인-고든 방정식"으로 알려지게 되었다.

유도[편집]

자유 입자의 비상대론적 에너지는 다음과 같다.

\frac{\mathbf{p}^2}{2 m} = E.

이를 양자화하면, 자유 입자슈뢰딩거 방정식이 된다.


\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

여기서 \mathbf{p}는 운동량 연산자이다.

이를 상대화하기 위하여, 특수 상대성 이론의 에너지 공식을 사용하자.


\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E.

마찬가지로 양자화하면 다음과 같다.

 \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi.

그러나 이 공식은 제곱근이 들어가 있기 때문에 다루기 힘들며, 또 비국소적이다. 대신, 에너지 공식의 양변을 제곱하자.


\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2

이를 양자화하면 다음과 같다.

 ((-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4) \psi = (i \hbar \frac{\partial}{\partial t} )^2 \psi

고쳐 쓰면,

 - \hbar^2 c^2 \mathbf{\nabla}^2 \psi + m^2 c^4 \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi.

항을 옮기면 다음을 얻는다.

 \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0.

모든 복소수 i가 사라졌으므로, 이 방정식은 복소 마당뿐만 아니라 실수값을 가지는 마당에도 적용할 수 있다.

상대론적 표기법으로 쓰면, 다음과 같이 된다.

(\Box + \mu^2) \psi = 0

여기서 \Box달랑베르 연산자이다.

주석[편집]

  1. 다만, 파인먼-스튀켈베르크 해석(Feynman-Stückelberg interpretation)에 따라, 시간에 대해 앞뒤로 전파하는 입자에 대한 기술이라고 해석할 수 있다.