셈측도

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측도론에서, 셈측도(셈測度, 영어: counting measure)는 모든 부분집합이 가측집합이고, 부분집합을 그 기수로 대응시키는 측도이다.

정의[편집]

집합 \Omega 위의 셈측도 공간(영어: counting measure space) (\Omega,\mathcal P(\Omega),\min\{|\cdot|,\aleph_0\})은 다음과 같다.

\mu(S)=\min\{|S|,\aleph_0\}=\begin{cases}|S|&|S|<\aleph_0\\\infty&|S|\ge\aleph_0\end{cases}

이 데이터가 측도 공간을 이룸을 보일 수 있다.

응용[편집]

셈측도는 Lp 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다. 만약 Ω = {1,...,n}이고 μ는 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도 공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p} x = (x1,...,xn)

노름으로 가지는 노름 공간 Lp(S)는 Rn (또는 Cn)과 같다. 셈측도 μ를 Ω의 원소의 개수 n으로 나누어주면, 이는 이산 균등 분포가 된다.

마찬가지로, \mathbb N을 셈측도 공간으로 간주한 자연수 집합이라고 하면, Lp(S)에서

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}

의 값이 유한인 x = (xn)의 수열을 구성할 수 있다. 이를 p 공간이라 한다.

또한, 가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조 수렴 정리, 파투의 보조정리, 지배 수렴 정리, 푸비니의 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다.

바깥 고리[편집]