셈측도

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셈측도수학에서 사용하는 측도로, 매우 직관적인 측도이다. 어떤 집합의 셈측도는 유한집합인 경우 원소의 개수로 정의하며, 무한집합인 경우 로 정의한다.

집합 Ω에 대하여 Ω의 모든 부분집합으로 σ-집합대수 Σ를 구성하고,

μ(A) = |A| (A의 원소의 개수가 유한)
μ(A) = ∞ (A의 원소의 개수가 무한, 이때 |A|는 기수를 나타낸다.)

를 만족하는 측도 μ를 이 σ-집합대수의 측도라 정의하자. 이때 (Ω, Σ, μ)는 측도공간이 된다.

셈측도는 Lp 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 해준다. 만약, Ω = {1,...,n}이고 μ는 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p} x = (x1,...,xn)

노름으로 가지는 노름공간 Lp(S)는 Rn (또는 Cn)과 같다. 셈측도 μ를 Ω의 원소의 개수 n으로 나누어주면, 이는 이산 균등 분포가 된다.

마찬가지로, 만약 Ω를 자연수의 집합이라 하고, S를 Ω에서 셈측도를 측도로 갖는 측도공간이라고 하면, Lp(S)에서

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}

의 값이 유한인 x = (xn)의 수열을 구성할 수 있다. 이를 \ell^p 공간이라 한다.

또한, 가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조수렴정리, 파투의 보조정리, 지배수렴정리, 푸비니의 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 해준다.