셈측도

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측도론에서, 셈측도(셈測度, 영어: counting measure)는 모든 부분집합이 가측집합이고, 부분집합을 그 기수로 대응시키는 측도이다.

정의[편집]

집합 \Omega 위의 셈측도공간(영어: counting measure space) (\Omega,\mathcal P(\Omega),\min\{|\cdot|,\aleph_0\})은 다음과 같다.

\mu(S)=\min\{|S|,\aleph_0\}=\begin{cases}|S|&|S|<\aleph_0\\\infty&|S|\ge\aleph_0\end{cases}

이 데이터가 측도공간을 이룸을 보일 수 있다.

응용[편집]

셈측도는 Lp 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다. 만약 Ω = {1,...,n}이고 μ는 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p} x = (x1,...,xn)

노름으로 가지는 노름공간 Lp(S)는 Rn (또는 Cn)과 같다. 셈측도 μ를 Ω의 원소의 개수 n으로 나누어주면, 이는 이산 균등 분포가 된다.

마찬가지로, \mathbb N을 셈측도공간으로 간주한 자연수 집합이라고 하면, Lp(S)에서

\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}

의 값이 유한인 x = (xn)의 수열을 구성할 수 있다. 이를 p 공간이라 한다.

또한, 가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조수렴정리, 파투의 보조정리, 지배수렴정리, 푸비니의 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다.

바깥 고리[편집]