횔더 부등식

횔더 부등식 ( (영어) Hölder's inequality)은 르베그 적분과 L^p 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.

S,Σ,μ를 측도공간이고, p, q가 1 ≤ p, q ≤ ∞ 이고 1/p + 1/q = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 중 S에서 측정 가능한 함수 f, g에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

부등식은 ||fg||₁의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 f ∈ L^p(μ) , g ∈ L^q(μ)일 때, fg ∈ L¹(μ)가 성립한다.

1 < p, q < ∞ and f ∈ L^p(μ) and g ∈ L^q(μ)일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |f|^p 과 |g|^q이 L¹에서 일차 독립일 때 만족한다. 즉, α, β ≥ 0 인 α, β 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 α|f|^p = β|g|^q가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.

이때 p와 q는 횔더 켤레(Hölder conjugates)이다. p = q = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

횔더 부등식은 L^p(μ)에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L^p(μ)의 쌍대공간 L^q(μ)를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ q < ∞)

횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.

특이 사항

횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.

• 횔더 켤레의 정의에 의하면, 1/∞은 0을 뜻한다.

• 만약 1 ≤ p, q < ∞ 이면, ||f||_p , ||g||_q는 다음과 같이 정의한다.

$\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}$   and   $\biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.$

• 만약 p = ∞ 이면, ||f||_∞ 는 |f|의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 ||g||_∞도 정의한다.

• 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0 는 0으로 약속한다.

중요한 특수 사례

p와 q가 (1,∞) 개구간에 속한다고 가정하자.

• n차원 유클리드 공간의 집합 S = {1, …, n} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.

$\sum_{k=1}^n |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \biggr)^{\!1/q} \text{ for all }(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots.y_n)\in\mathbb{R}^n\text{ or }\mathbb{C}^n.$

• 만약 S = N이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\!1/q} \text{ for all }(x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ or }\mathbb{C}^{\mathbb N}.$

• 만약 S가 르베그 측도를 측도로 갖는 Rⁿ의 가측 부분집합일 때, f, g는 S에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

$\int_S \bigl| f(x)g(x)\bigr| \,\mathrm{d}x \le\biggl(\int_S |f(x)|^p\,\mathrm{d}x \biggr)^{\!1/p\;} \biggl(\int_S |g(x)|^q\,\mathrm{d}x\biggr)^{\!1/q}.$

• 확률공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$에서 , $\operatorname{E}$를 기대값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 X와 Y에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

$\operatorname{E}|XY| \le \bigl(\operatorname{E}|X|^p\bigr)^{1/p}\; \bigl( \operatorname{E}|Y|^q\bigr)^{1/q}.$

0 < r < s이고, p = s/r라 정의하자. 이때, q = p/(p−1)는 p의 횔더 켤레다. 횔더 부등식을 확률 변수 |X|^r 과 1_Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.

$\operatorname{E}|X|^r\le\bigl(\operatorname{E}|X|^s\bigr)^{r/s}.$

s의 절대 모멘트가 유한할 때, r의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)

일반화

r ∈ (0,∞) 이고 p₁, …, p_n ∈ (0,∞]이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

$\sum_{k=1}^n \frac1{p_k}=\frac1r.$

이때, S에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f₁, …, f_n에 대하여,

$\biggl\|\prod_{k=1}^n f_k\biggr\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.$

가 성립한다.

또한, 다음도 성립한다.

$f_k\in L^{p_k}(\mu)\;\;\forall k\in\{1,\ldots,n\}\implies\prod_{k=1}^n f_k \in L^r(\mu).$

주의: r ∈ (0,1)에 대해, ||.||_r는 일반적으로 삼각부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.

역 횔더 부등식

p ∈ (1,∞)이고, 측도공간 (S,Σ,μ)이 μ(S) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, S에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f, g (이때, g(s) ≠ 0 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 s ∈ S)에 대하여 다음이 성립한다.

$\|fg\|_1\ge\|f\|_{1/p}\,\|g\|_{-1/(p-1)}.$

만약, ||fg||₁ < ∞ 이고 ||g||_−1/(p−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 α ≥ 0 에 대해

$|f| = \alpha|g|^{-p/(p-1)}\,$    

이 측도 μ값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.

주의: ||f||_1/p 와 ||g||_−1/(p−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.

$\biggl(\int_S|f|^{1/p}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\!p}$   ,   $\biggl(\int_S|g|^{-1/(p-1)}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{-(p-1)}.$

조건부 횔더 부등식

$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$를 확률공간이라 하고, $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$를 부분 σ집합대수라 하고, 횔더 켤레 p, q ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 X, Y에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr] \le \bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p} \,\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q} \qquad\mathbb{P}\text{-almost surely.}$

특이 사항:

• 만약 음이 아닌 확률변수 Z가 기대값이 무한이라면, 이때 Z의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.

$\operatorname{E}[Z|\mathcal{G}]=\sup_{n\in\mathbb{N}}\,\operatorname{E}[\min\{Z,n\}|\mathcal{G}]\quad\text{a.s.}$

• 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. a > 0 에 ∞ 를 곱해도  ∞으로 생각한다.

증명

횔더 부등식의 증명

횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.

만약 ||f||_p = 0 이라면, f 는 측도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 fg도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||g||_q = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||f||_p > 0 , ||g||_q > 0 이라고 가정할 수 있다.

만약 ||f||_p = ∞ 또는 ||g||_q = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||f||_p , ||g||_q 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.

만약 p = ∞ , q = 1이면, 거의 모든 점에서 |fg| ≤ ||f||_∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, p = 1 and q = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 p, q ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.

f, g를 ||f||_p 과 ||g||_q 로 각각 나눈다. 이때

$\|f\|_p = \|g\|_q = 1.$

라 가정한다.

아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 a, b에 대하여 a^p = b^q일 때이다.

$a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,$

이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$|f(s)g(s)| \le \frac{|f(s)|^p}p + \frac{|g(s)|^q}q,\qquad s\in S.$

주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\|fg\|_1 \le 1,$

가정에서 p ∈ (1,∞) , ||f||_p = ||g||_q = 1라 했으므로, 등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 |f|^p = |g|^q가 성립할 때이다. 일반적으로, ||f||_p and ||g||_q 는 (0,∞)에서 값을 가지므로, 횔더 부등식이 성립할 필요충분조건은 다음 식을 만족하는 α, β > 0 가 존재할 때이다.

$\alpha |f|^p = \beta |g|^q\,$    (측도 μ값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 성립)   (*)

||f||_p = 0 인 경우, (*)에서 β = 0이다. ||g||_q = 0 인 경우, (*)에서 α = 0이다.

일반화된 횔더 부등식의 증명

횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. n − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 p₁ ≤ … ≤ p_n라 가정할 수 있다.

1 : p_n = ∞ 일 때,

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k}=\frac1r.$

가정과 |f_n|의 본질적 상한을 사용하면,

$\begin{align} \|f_1\cdots f_n\|_r &\le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_r \|f_n\|_\infty\\ &\le\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{n-1}\|_{p_{n-1}}\|f_n\|_\infty.\end{align}$

을 얻을 수 있다.

2 : p_n < ∞ 일 때,

$p:=\frac{p_n}{p_n-r}$   and   $q:=\frac{p_n}r$

는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,

$\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\,|f_n|^r\bigr\|_1 \le\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\bigr\|_p\,\bigl\||f_n|^r\bigr\|_q.$

이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.

$\|f_1\cdots f_n\|_r \le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_n\|_{qr}.$

qr = p_n이고,

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k} = \frac1r-\frac1{p_n} = \frac{p_n-r}{rp_n} = \frac1{pr}\,,$

이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

역 횔더 부등식의 증명

p와

$q:=\frac{p}{p-1}\in(1,\infty)$

가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

$\begin{align} \bigl\||f|^{1/p}\bigr\|_1 &= \bigl\||fg|^{1/p}\,|g|^{-1/p}\bigr\|_1\\ &\le \bigl\||fg|^{1/p}\bigr\|_p\,\bigl\||g|^{-1/p}\bigr\|_q =\|fg\|_1^{1/p}\,\bigl\||g|^{-1/(1-p)}\bigr\|_1^{(p-1)/p}.\end{align}$

양변을 p제곱하여, ||fg||₁ 에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

g가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |fg| = α|g|^−q/p를 만족하는 상수 α ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

조건부 횔더 부등식의 증명

확률변수를 다음과 같이 정의하자.

$U=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p},\qquad V=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q}$

이때, 이들은 부분 σ집합대수에서 측정 가능하다. 이때

$\operatorname{E}\bigl[|X|^p1_{\{U=0\}}\bigr] = \operatorname{E}\bigl[1_{\{U=0\}}\underbrace{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}_{=\,U^p}\bigr]=0,$

집합 {U = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |X| = 0 이다. 마찬가지로, 집합 {V = 0}에서 거의 확실하게 |Y| = 0 이다. 따라서,

$\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]=0\qquad\text{a.s. on }\{U=0\}\cup\{V=0\}$

이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

$\{U=\infty, V>0\}\cup\{U>0, V=\infty\}$

우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.

$\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}\le1 \qquad$ 집합 $H:=\{0<U<\infty,\,0<V<\infty\}$에서 거의 확실하게 성립.

이제 임의의 집합

$G\in\mathcal{G},\quad G\subset H.$

에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.

U, V, 1_G가 부분 σ집합대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$\begin{align} \operatorname{E}\biggl[\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}1_G\biggr] &=\operatorname{E}\biggl[\operatorname{E}\biggl[\frac{|XY|}{UV}1_G\bigg|\,\mathcal{G}\biggr]\biggr]\\ &=\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|}{U}1_G\cdot\frac{|Y|}{V}1_G\biggr]\\ &\le\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|^p}{U^p}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;} \biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|Y|^q}{V^q}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\ &=\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{U^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;} \biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{V^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\ &=\operatorname{E}\bigl[1_G\bigr]. \end{align}$

참고 도서

• Hardy, G.H., Littlewood, J.E. & Pólya, G. (1934). 《Inequalities》. Cambridge Univ. Press. ISBN 0521358809
• Hölder, O. (1889년). Ueber einen Mittelwerthsatz. 《Nachr. Ges. Wiss. Göttingen》: 38–47.
• Rogers, L J. (1888년). An extension of a certain theorem in inequalities. 《Messenger of math》 17: 145–150.
• Kuttler, Kenneth (2007). 《An introduction to linear algebra》. Online e-book in PDF format, Brigham Young University