옌센 부등식

옌센 부등식(Jensen's inequality)은 볼록함수에 대한 부등식으로, 어떤 값들의 평균을 함수에 대입한 결과는 각각의 값을 함수에 대입한 값의 평균보다 항상 작거나 같다는 의미를 지니고 있다.

유한 개의 값일 경우의 부등식

임의의 볼록함수 $\varphi$와 임의의 양수 $a_i$에 대해 다음이 성립한다.

$\varphi\left(\frac{\sum a_{i} x_{i}}{\sum a_{i}}\right) \le \frac{\sum a_{i} \varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}$

또한 $\omega_i = a_i / \sum a_j$로 두면, $\sum \omega_i = 1$인 임의의 양수 $\omega_i$에 대하여

$\varphi ( \sum \omega_i x_i) \le \sum \omega_i \varphi (x_i)$

가 성립한다는 식으로도 사용할 수 있다.

이 식의 함수에 로그 함수 $\log(x)$을 대입하면 산술 평균-기하 평균 부등식을 얻는다.

측도공간에서의 부등식

측도공간 $(\Omega, A, \mu)$에서 $\mu(\Omega) = 1$이고, 함수 $g$가 $\mu$-적분가능하고 함수 $\varphi$가 실수 범위에서 볼록함수일 경우 다음이 성립한다.

$\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu$

참고 문헌

• 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002