옌센 부등식

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옌센 부등식(Jensen's inequality)은 볼록함수에 대한 부등식으로, 어떤 값들의 평균을 함수에 대입한 결과는 각각의 값을 함수에 대입한 값의 평균보다 항상 작거나 같다는 의미를 지니고 있다.

유한 개의 값일 경우의 부등식[편집]

임의의 볼록함수 \varphi와 임의의 양수 a_i에 대해 다음이 성립한다.

\varphi\left(\frac{\sum a_{i} x_{i}}{\sum a_{i}}\right) \le \frac{\sum a_{i} \varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}

또한 \omega_i = a_i / \sum a_j로 두면, \sum \omega_i = 1인 임의의 양수 \omega_i에 대하여

\varphi ( \sum \omega_i x_i) \le \sum \omega_i \varphi (x_i)

가 성립한다는 식으로도 사용할 수 있다.

이 식의 함수에 로그 함수 \log(x)을 대입하면 산술 평균-기하 평균 부등식을 얻는다.

측도공간에서의 부등식[편집]

측도공간 (\Omega, A, \mu)에서 \mu(\Omega) = 1이고, 함수 g\mu-적분가능하고 함수 \varphi가 실수 범위에서 볼록함수일 경우 다음이 성립한다.[1]

\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu

주석[편집]

  1. 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 66쪽.

참고 문헌[편집]

  • 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002