기대값

확률론에서 확률 변수의 기대값(期待값, Expected value, 표준어: 기댓값)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다.

예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기대값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인

$1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5$

가 된다.

정의

확률 변수 $X$의 기대값 $\operatorname{E}(X)$는 다음과 같이 정의된다.

• 이산 확률 변수일 경우 $\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i$, 이때 $x_i$는 가능한 모든 사건, $p(x_i)$는 $x_i$ 사건이 일어날 확률을 의미한다.
• 연속 확률 변수일 경우 $\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\ \operatorname{d}x$, 이때 $f(x)$는 확률밀도함수를 나타낸다.