기댓값

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확률론에서, 확률 변수기댓값(期待값, 영어: expected value)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다.

정의[편집]

확률공간 (P,\mathcal P,\mu) 위의 실수값 확률 변수 X\colon P\to\mathbb R기댓값 \operatorname{E}(X)은 그 르베그 적분이다.

\operatorname E(X)=\int_PX\,d\mu

예를 들어, 이산 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i

여기서 x_i는 가능한 모든 사건, p(x_i)x_i 사건이 일어날 확률을 의미한다. 연속 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\ \operatorname{d}x

이 때 f(x)확률밀도함수를 나타낸다.

[편집]

예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기댓값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인

1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5

가 된다.

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