독립 (확률론)

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사건독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 둘 중 하나의 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나올 확률에 독립적이다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega,\mathcal F,\Pr) 위의 사건들의 집합 \mathcal S\subset\mathcal F에 대하여, 만약 모든 유한집합 \{S_1,\dots,S_n\}\subset\mathcal S에 대하여

\Pr(S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n)=\Pr(S_1)\Pr(S_2)\cdots\Pr(S_n)

이라면, \mathcal S가 서로 독립이라고 한다.

확률공간 (\Omega,\mathcal F,\Pr) 위의, \mathcal F의 부분 시그마 대수들의 집합 \mathfrak G\subset\mathcal P(\mathcal F)이 다음 성질을 만족시킬 경우, \mathfrak G가 서로 독립이라고 한다.

  • 모든 유한집합 \{\mathcal G_1,\dots,\mathcal G_n\}\subset\mathfrak GS_i\in\mathcal G_i (i=1,\dots,n)에 대하여,
\Pr\left(\bigcap_{i=1}^nS_i\right)=\prod\Pr(S_i)

사건의 집합 \mathcal S\in\mathcal F에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

  • \mathcal S는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
  • \{\sigma(S)|S\in\mathcal S\}는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 \sigma(S)=\{\varnothing,S,\Omega\setminus S,\Omega\}S를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

같은 확률공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률변수의 집합

X_\alpha\colon(\Omega,\mathcal F,\Pr)\to(S_\alpha,\mathcal G_\alpha)\qquad(\alpha\in I)

에 대하여, 시그마 대수

\mathcal F_\alpha=\{X_\alpha^{-1}(T)|T\in\mathcal G_\alpha\}\subset\mathcal F

를 정의할 수 있다. 만약 \{\mathcal F_\alpha\}_{\alpha\in I}가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률변수의 집합 \{X_\alpha\}_{\alpha\in I}이 서로 독립이라고 한다.

성질[편집]

XY가 같은 확률공간 위의 두 확률변수이며, X가 상수 변수 (즉, 공역이 자명한 시그마 대수를 갖춘 가측공간)라면, \{X,Y\}는 서로 독립이다.

바깥 고리[편집]