확률변수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

확률론에서, 확률 변수(確率變數, 영어: random variable)는 확률 공간에서 다른 가측 공간으로 가는 가측 함수이다. 이는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다. 같은 확률 공간에 정의된 여러 확률 변수에 대하여, 이들의 조건부 확률이나 독립 여부를 정의할 수 있다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega, \mathcal{F}, \Pr)측도 공간 (E, \mathcal{E})에 대해, (E, \mathcal{E})의 값을 가지는 확률 변수 XX: (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})가측함수이다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.

확률 공간 X\colon\Omega\to E는 그 상태 공간 E에 다음과 같이 확률 측도 \Pr(X\in\cdot)를 정의한다.

\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E

이는 확률 변수 XS 속의 값을 가질 확률이라고 한다.

만약 상태 공간이 위상 공간인 경우, 상태 공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 보렐 시그마 대수에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측 집합의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)

[편집]

주사위를 던져 나오는 눈의 수 X를 생각하자. 이 경우, 상태 공간은 크기가 6인 이산 가측공간 (\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))이다. 확률 공간은 임의로 잡을 수 있다.

  • 예를 들어, 확률 공간이 상태 공간 (\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))과 같은 가측 공간이며, 균등 측도를 주었다고 하자. 이 경우, X\colon\{1,2,\dots,6\}\to\{1,2,\dots,6\}는 임의의 순열일 수 있다.
  • 확률 공간이 (르베그 측도가 갖추어진) 단위 구간 (0,1]라고 하자. 그렇다면, 예를 들어 X\colon r\mapsto \lceil 6r\rceil로 잡을 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]