확률변수

확률변수(確率變數, random variable)는 여러 가지 값을 가질 수 있으며, 각 값을 가질 확률이 정의되어 있는 변수이다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 나오는 눈의 수는 확률변수이며, 이때 그 값이 1일 확률은 1/6이 된다.

정의

확률공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$와 측도공간 $(E, \mathcal{E})$에 대해, $(E, \mathcal{E})$의 값을 가지는 확률변수 $X$는 $X: (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})$인 가측함수로 정의된다. 즉, $X$는 $X: \Omega \to E$이고 $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$에 대해 측도가능한 함수이다.

$E = \mathbb{R}$, $\mathcal{E} = \mathfrak{B}(\mathbb{R})$(보렐 집합의 모임)인 경우는 치역에 대한 표기를 생략하여 확률변수라고 부르기도 한다.

$B \in \mathcal{E}$에 대해, $[X \in B]$는 $X^{-1}(B)$, 즉 $\{\omega \in \Omega: X(\omega) \in B\}$의 의미로 사용한다. 예를 들어, $P(X \in B)$는 $P(X^{-1}(B))$를 의미한다. 이러한 표기 방식은 $[X \le c]$와 같은 곳에도 마찬가지로 사용한다.