확률변수

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확률론에서, 확률변수(確率變數, 영어: random variable)는 확률공간에서 다른 가측공간으로 가는 가측함수이다. 이는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다. 같은 확률공간에 정의된 여러 확률변수에 대하여, 이들의 조건부 확률이나 독립 여부를 정의할 수 있다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega, \mathcal{F}, \Pr)측도공간 (E, \mathcal{E})에 대해, (E, \mathcal{E})의 값을 가지는 확률변수 XX: (\Omega, \mathcal{F}) \to (E, \mathcal{E})가측함수이다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.

확률공간 X\colon\Omega\to E는 그 상태공간 E에 다음과 같이 확률 측도 \Pr(X\in\cdot)를 정의한다.

\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad\forall S\in\mathcal E

이는 확률변수 XS 속의 값을 가질 확률이라고 한다.

만약 상태공간이 위상공간인 경우, 상태공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률변수는 실수의 보렐 시그마 대수에 대한 가측함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측집합의 시그마 대수를 사용하면, 연속함수이지만 가측함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)

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주사위를 던져 나오는 눈의 수 X를 생각하자. 이 경우, 상태공간은 크기가 6인 이산 가측공간 (\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))이다. 확률공간은 임의로 잡을 수 있다.

  • 예를 들어, 확률공간이 상태공간 (\{1,2,\dots,6\},\mathcal P(\{1,2,\dots,6\}))과 같은 가측공간이며, 균등 측도를 주었다고 하자. 이 경우, X\colon\{1,2,\dots,6\}\to\{1,2,\dots,6\}는 임의의 순열일 수 있다.
  • 확률공간이 (르베그 측도가 갖추어진) 단위 구간 (0,1]라고 하자. 그렇다면, 예를 들어 X\colon r\mapsto \lceil 6r\rceil로 잡을 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]