정규분포

정규 분포

확률밀도함수
붉은 색은 표준정규분포
누적분포함수
확률밀도함수의 색과 같은 색
매개변수	$\mu$ 평균 $\sigma^2>0$ 분산
받침	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
pdf	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
cdf	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
기대값	$\mu$
중앙값	$\mu$
최빈값	$\mu$
분산	$\sigma^2$
왜도	0
첨도	0
엔트로피	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
mgf	$M_X(t) = \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
cf	$\phi_X(t) = \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

정규분포(正規分布, 가우스 분포)는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.

정규분포는 2개의 매개 변수 평균 $\mu$과 표준편차 $\sigma$에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 $\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)$로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 $\mathrm{N}(0, 1)$을 표준정규분포라고 한다.

역사

정규분포는 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 $n$이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》 2판(1738년)에 다시 실렸다. 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.

라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소 제곱법을 도입했다. 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소 제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.

성질

• 정규분포에서는 기대값, 최빈값, 중앙값이 모두 $\mu$이다.
• 정규분포는 절대근사한다.
• 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.

같이 보기

• 가우스 함수
• 표본 크기
• F 분포