이산균등분포

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이산균등분포
확률 질량 함수
n = 5일 때의 이산균등분포의 질량함수
n = b-a+1가 성립할 때 n = 5 인 경우
누적 분포 함수
Discrete uniform cumulative density function for n = 5
매개변수 a \in (\dots,-2,-1,0,1,2,\dots)\,
b \in (\dots,-2,-1,0,1,2,\dots)\,
n = b-a+1\,
지지집합 k \in \{a,a+1,\dots,b-1,b\}\,
확률 질량 
 \begin{matrix}
 \frac{1}{n} & \mbox{for }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{otherwise }
 \end{matrix}
누적 분포 
 \begin{matrix}
 0 & \mbox{for }k<a\\ \frac{\lfloor k \rfloor -a+1}{n} & \mbox{for }a \le k \le b \\1 & \mbox{for }k>b
 \end{matrix}
기댓값 \frac{a+b}{2}\,
중앙값 \frac{a+b}{2}\,
최빈값 N/A
분산 \frac{n^2-1}{12}\,
비대칭도 0\,
첨도 -\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}\,
엔트로피 \ln(n)\,
모멘트생성함수 \frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^t)}\,
특성함수 \frac{e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}

이산균등분포(discrete uniform distribution)란, 확률론통계학에서 다루는 이산확률분포중 확률분포 함수가 정의된 모든 곳에서 그 값이 일정한 분포를 말한다.

만일 확률변수가 k_1,k_2,\dots,k_n과 같이 n개의 값을 가질 수 있다면, 이 분포는 이산균등분포가 된다. 이 때, k_i 일 확률은 \frac 1 n이 된다. 이산균등분포의 가장 대표적인 예는 모든 면이 나올 확률이 동등한 주사위이다. 예를 들어 1, 2, 3, 4, 5, 6의 값을 갖는 주사위라면, 이를 던졌을 때 각각의 눈이 나올 확률은 \frac 1 6이다.

이산균등분포의 확률 변수의 값이 실수인 경우, 이때 누적 분포 함수는 다음과 같이 퇴화분포의 합으로 표시가 된다. 헤비사이드 계단 함수 H(x-x_0)를 중심이 x_0인 퇴화분포의 누적분포함수라 하면,

F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)

이 성립한다.