첨도

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첨도(尖度, 영어: kurtosis 커토시스[*])는 확률분포의 뾰족한 정도를 나타내는 척도이다. 관측치들이 어느 정도 집중적으로 중심에 몰려 있는가를 측정할 때 사용된다. 첨도값(K)이 0에 가까우면 산포도정규분포에 가깝다. 0보다 작을 경우에는(K<0) 정규분포보다 더 완만하게 납작한 분포로 판단할 수 있으며, 첨도값이 0보다 큰 양수이면(K>0) 산포는 정규분포보다 더 뾰족한 분포로 생각할 수 있다. [1]

정의[편집]

확률변수 X첨도 \operatorname{Kurt}[X]는 다음과 같다.

\operatorname{Kurt}[X]=\frac{\operatorname E[(X-\operatorname E[X])^4]}{\operatorname E[(X-\operatorname E[X])^2]^2}-3

여기서 항 -3정규분포의 첨도를 0으로 하기 위해서이다.

성질[편집]

n개의 확률변수 X_1,\dots,X_n이 서로 독립이며, 또한 같은 분산을 갖는다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\operatorname{Kurt}[X_1+\cdots+X_n]=\frac1{n^2}\left(\operatorname{Kurt}[X_1]+\cdots+\operatorname{Kurt}[X_n]\right)

만약 첨도가 정의될 수 있다면, 이는 적어도 −2 이상이다. 첨도의 상한은 없으며, 임의로 클 수 있다.

\operatorname{Kurt}[X]\ge-2

참고 문헌[편집]

  1. 이훈영, 《이훈영교수의 통계학》, 도서출판 청람, 2010, p.83

바깥 고리[편집]