감마 분포

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감마 분포
확률밀도함수
Probability density plots of gamma distributions
누적분포함수
Cumulative distribution plots of gamma distributions
매개변수 k > 0\, 모양 (실수)
\theta > 0\, 크기 (실수)
지지집합 x \in [0; \infty)\!
pdf x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}
cdf \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
기대값 k \theta\,
최빈값 (k-1) \theta\, for k \geq 1\,
분산 k \theta^2\,
왜도 \frac{2}{\sqrt{k}}
첨도 \frac{6}{k}
엔트로피 k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
mgf (1 - \theta\,t)^{-k} \mbox{ for } t < \frac 1 \theta
cf (1 - \theta\,i\,t)^{-k}

감마 분포연속 확률분포로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.

감마 분포는 지수 분포푸아송 분포 등의 매개변수에 대한 켤레 사전 확률 분포이며, 이에 따라 베이지안 확률론에서 사전 확률 분포로 사용된다.

매개변수 k가 정수인 경우 감마 분포는 얼랑 분포가 된다.

확률 밀도 함수[편집]

감마 분포의 확률 밀도 함수감마 함수를 써서 나타낼 수 있다.

 f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} 
 \ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!

여기서 k (> 0)는 모양 매개변수이고,  \theta (> 0)는 크기 매개변수이다.

성질[편집]

만약 확률변수 X_1, \cdots, X_n가 독립이며 각각 X_i \sim \mathrm{Gamma}(k_i, \theta)의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다.

\sum_i X_i \sim \mathrm{Gamma}(\sum_i k_i, \theta)

X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)인 확률변수 X에 상수를 곱한 경우는 크기 매개변수에 영향을 준다.

cX \sim \mathrm{Gamma}(k, c \theta)

다른 분포와의 관계[편집]

켤레 사전 확률[편집]

감마 분포는 푸아송 분포, 지수 분포, 정규 분포(평균을 알고 있을 경우), 파레토 분포, 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 역감마 분포(모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 켤레 사전 확률 분포를 이룬다.