감마 분포

감마 분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	$k > 0\,$ 모양 (실수) $\theta > 0\,$ 크기 (실수)
받침	$x \in [0; \infty)\!$
pdf	$x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}$
cdf	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$
기대값	$k \theta\,$
최빈값	$(k-1) \theta\,$ for $k \geq 1\,$
분산	$k \theta^2\,$
왜도	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
첨도	$\frac{6}{k}$
엔트로피	$k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,$ $+(1-k)\psi(k)\,$
mgf	$(1 - \theta\,t)^{-k} \mbox{ for } t < \frac 1 \theta$
cf	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}$

감마 분포는 연속 확률분포로, 두 개의 매개변수를 받으며 양의 실수를 가질 수 있다.

감마 분포는 지수 분포나 푸아송 분포 등의 매개변수에 대한 켤레 사전 확률 분포이며, 이에 따라 베이지안 확률론에서 사전 확률 분포로 사용된다.

매개변수 $k$가 정수인 경우 감마 분포는 얼랑 분포가 된다.

확률 밀도 함수

감마 분포의 확률 밀도 함수는 감마 함수를 써서 나타낼 수 있다.

$f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} \ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!$

여기서 $k (> 0)$는 모양 매개변수이고, $\theta (> 0)$는 크기 매개변수이다.

성질

만약 확률변수 $X_1, \cdots, X_n$가 독립이며 각각 $X_i \sim \mathrm{Gamma}(k_i, \theta)$의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다.

$\sum_i X_i \sim \mathrm{Gamma}(\sum_i k_i, \theta)$

$X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)$인 확률변수 $X$에 상수를 곱한 경우는 크기 매개변수에 영향을 준다.

$cX \sim \mathrm{Gamma}(k, c \theta)$

다른 분포와의 관계

• 모양 매개변수 $k$가 정수인 경우 얼랑 분포에 포함된다.
• $k = 1, \theta = 1/\lambda$는 지수 분포가 된다.
• $k = \nu/2, \theta = 2$는 카이제곱 분포가 된다. 이 때 자유도는 $\nu$이다.

켤레 사전 확률

감마 분포는 푸아송 분포, 지수 분포, 정규 분포(평균을 알고 있을 경우), 파레토 분포, 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 역감마 분포(모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 켤레 사전 확률 분포를 이룬다.