가우스 적분

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미적분학
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가우스 적분(Gaussian integral)은 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분으로, 그 값은 다음과 같다.

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

가우스 함수에 대한 일반적인 부정적분 함수는 초등 함수 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.

과정[편집]

극좌표 변환을 이용하는 경우[편집]

\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.

\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy
= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right ) \cdot \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy \right )
= \left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2

그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.

\int_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infin} re^{-r^2} dr d\theta
= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2} dr
= 2\pi \int_{-\infty}^0 \frac{1}{2} e^s ds
= \pi \int_{-\infty}^0 e^s ds = \pi (e^0 - e^{-\infty}) = \pi (1 - 0) = \pi

따라서

\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^2 = \pi

그리고 e^{-x^2}x가 실수일 때 항상 양수이기 때문에

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt \pi

가 성립한다.

직교좌표에서 계산하는 경우[편집]

직교좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다.[1] 함수 xe^{-x^2(1+y^2)}(0, \infty) × (0, \infty) 에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,

\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dxdy = \int_0^\infty \frac{1}{2(1+y^2)} dy = \frac{\pi}{4}.

반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,

\int_0^\infty \int_0^\infty xe^{-x^2(1+y^2)} dydx = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty xe^{-(xy)^2} dy = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-z^2} dz = (\int_0^\infty e^{-x^2} dx)^2.

푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국 \int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} 를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

주석[편집]

  1. Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics, p.192.

참고 문헌[편집]

  • Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics