특성함수 (확률론)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

확률변수특성함수(特性函數, 영어: characteristic function)는 각각의 확률분포일대일대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다.

실수 t에 대해, 확률변수 X의 특성함수 \varphi_X(t)는 다음과 같이 정의된다.

\varphi_X(t) = \operatorname{E}[\,e^{itX}\,]

예제[편집]

다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.

분포 모멘트생성함수 특성함수
이항 분포 B(n, p)   \, (1-p+pe^t)^n   \, (1-p+pe^{it})^n
푸아송 분포 Pois(λ)   \, e^{\lambda(e^t-1)}   \, e^{\lambda(e^{it}-1)}
연속균등분포 U(a, b)   \, \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}   \, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}
정규분포 N(μ, σ2)   \, e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}   \, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}
카이제곱 분포 χ2k   \, (1 - 2t)^{-k/2}   \, (1 - 2it)^{-k/2}
감마 분포 Γ(k, θ)   \, (1 - t\theta)^{-k}   \, (1 - it\theta)^{-k}
지수분포 Exp(λ)   \, (1 - t\lambda^{-1})^{-1}   \, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}
다변수 정규분포 N(μ, Σ)   \, e^{t^\mathrm{T} \mu + \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}   \, e^{i t^\mathrm{T} \mu - \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}
퇴화분포 δa   \, e^{ta}   \, e^{ita}
라플라스 분포 L(μ, b)   \, \frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}   \, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}
코시 분포 Cauchy(μ, θ) 정의되지 않음   \, e^{it\mu -\theta|t|}
음이항 분포 NB(r, p)   \, \frac{(pe^t)^r}{(1-(1-p)e^t)^r}   \, \frac{p^r}{(1-(1-p)e^{it})^r}