푸아송 분포

푸아송 분포(Poisson distribution)는 단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산 확률 분포이다.

푸아송 분포는 18세기에 시메옹 드니 푸아송이 1838년 "민사사건과 형사사건 재판의 확률에 관한 연구"라는 논문을 통해 알려졌다.

정의[편집]

정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기대값을 $\lambda$ 라고 했을 때, 그 사건이 $n$ 회 일어날 확률은 다음과 같다.

$f(n; \lambda)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!},\,\!$

여기서 $e$ 는 자연상수이다.

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어떤 단위구간(예, 1일)동안 이를 더 짧은 작은 단위의 구간(예 : 1시간)로 나눌 수 있고 이러한 더 짧은 단위구간 중에 어떤 사건이 발생할 확률은 전체 척도 중에서 항상 일정해야 한다.
두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가깝다.
어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적이다.
특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례한다.
푸아송분포 확률 변수의 기대값과 분산은 모두 λ이다.

다음과 같은 확률적인 문제를 알아내기 위해 쓰이고 있다.

푸아송 분포는 이항 분포의 특수한 형태로 볼 수 있다.

$X \sim \textrm{B}(n,p). \,$

이항분포를 따르는 위와 같은 확률변수 X에서, n이 대단히 크고 p가 대단히 작을 경우, 이 확률변수 X는 λ=np인 푸아송 분포로 근사할 수 있다.

예를 들어 DNA에 방사선을 쬐었을 때, 각 염기쌍이 돌연변이를 일으킬 확률은 각각 매우 작고 서로 독립적이다. 또한 하나의 DNA에는 많은 염기쌍이 있다. 따라서 DNA에 방사선을 쬐었을 때 발생하는 돌연변이의 개수는 푸아송 분포로 나타낼 수 있다.

$X \sim \textrm{Pois}(np). \,$

확률질량함수

누적분포함수

기호	$\mathrm{Pois}(\lambda)$ , $\mathrm{Poisson}(\lambda)$
매개변수	$\lambda > 0$
받침	0 이상의 정수
pmf	$\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$
cdf	$e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}$ (이때 $\Gamma(x,y)$ 는 불완전 감마 함수, $\lfloor x \rfloor$ 는 바닥 함수)
기대값	$\lambda$
최빈값	$\lceil\lambda\rceil - 1$
분산	$\lambda$
왜도	$\lambda^{-1/2}\,$
mgf	$\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
cf	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$