푸아송 분포

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푸아송 분포
확률 질량 함수
다양한 에 대한 푸아송 분포의 모습
누적 분포 함수
Poisson cdf.svg
기호 \mathrm{Pois}(\lambda), \mathrm{Poisson}(\lambda)
매개변수 \lambda > 0
지지집합 0 이상의 정수
확률 질량 \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}
누적 분포 e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}

(이때 \Gamma(x,y)불완전 감마 함수, \lfloor x \rfloor바닥 함수)

기댓값 \lambda
최빈값 \lceil\lambda\rceil - 1
분산 \lambda
비대칭도 \lambda^{-1/2}\,
모멘트생성함수 \exp(\lambda (e^{t}-1))\,
특성함수 \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

확률론에서, 푸아송 분포(Poisson分布, 영어: Poisson distribution)는 단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산 확률 분포이다.

역사[편집]

18세기에 시메옹 드니 푸아송이 1838년 저서 《민사 사건과 형사 사건 재판에서의 확률에 관한 연구 및 일반적인 확률 계산 법칙에 대한 서문》(프랑스어: Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés)[1]에서 최초로 사용하였다.

정의[편집]

정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값\lambda라고 했을 때, 그 사건이 n회 일어날 확률은 다음과 같다.

f(n; \lambda)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!},\,\!

여기서 e자연상수이다.

특성[편집]

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  1. 어떤 단위구간(예, 1일)동안 이를 더 짧은 작은 단위의 구간(예 : 1시간)로 나눌 수 있고 이러한 더 짧은 단위구간 중에 어떤 사건이 발생할 확률은 전체 척도 중에서 항상 일정해야 한다.
  2. 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가깝다.
  3. 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적이다.
  4. 특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례한다.
  5. 푸아송분포 확률 변수의 기댓값분산은 모두 λ이다.

응용[편집]

다음과 같은 확률적인 문제를 알아내기 위해 쓰이고 있다.

  • 일정 주어진 시간 동안에 도착한 고객의 수
  • 1킬로미터 도로에 있는 흠집의 수
  • 일정 주어진 생산시간 동안 발생하는 불량의 수
  • 하룻동안 발생하는 출생자의 수
  • 어떤 시간 동안 톨게이트를 통과하는 차량의 수
  • 어떤 페이지 하나를 완성하는 데 발생하는 오타의 발생률
  • 어떤 특정량의 방사선을 DNA에 쬐였을때 발생하는 돌연변이의 수
  • 어떤 특정 면적의 다양한 종류의 나무가 섞여 자라는 삼림에서 소나무의 수
  • 어떤 특정 진도 이상의 지진이 발생하는 수

이항 분포와의 관계[편집]

푸아송 분포는 이항 분포의 특수한 형태로 볼 수 있다.

X \sim \textrm{B}(n,p). \,

이항분포를 따르는 위와 같은 확률변수 X에서, n이 대단히 크고 p가 대단히 작을 경우, 이 확률변수 X는 λ=np인 푸아송 분포로 근사할 수 있다.

예를 들어 DNA에 방사선을 쬐었을 때, 각 염기쌍이 돌연변이를 일으킬 확률은 각각 매우 작고 서로 독립적이다. 또한 하나의 DNA에는 많은 염기쌍이 있다. 따라서 DNA에 방사선을 쬐었을 때 발생하는 돌연변이의 개수는 푸아송 분포로 나타낼 수 있다.

X \sim \textrm{Pois}(np). \,

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Poisson, S.D. (1837년). 《Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés》. Paris, France: Bachelier

바깥 고리[편집]