지수분포

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지수분포
확률 밀도 함수
Exponential pdf.svg
누적 분포 함수
Exponential cdf.svg
기호 \mbox{Exponential(}\lambda \mbox{) or Exp(}\lambda \mbox{)}
매개변수 \lambda > 0: 빈도
지지집합 x \in [0, \infty)
확률 밀도 \lambda e^{-\lambda x}
누적 분포 1 - e^{-\lambda x}
기댓값 \frac{1}{\lambda}
중앙값 \frac{\ln 2} {\lambda}
최빈값 0
분산 \frac{1}{\lambda^2}
비대칭도 2
첨도 6
엔트로피 1-\ln \lambda
모멘트생성함수 \left( 1-\frac{t}{\lambda} \right)^{-1}
특성함수 \left( 1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-1}

확률론통계학에서, 지수분포(指數分布, 영어: exponential distribution)는 연속 확률 분포의 일종이다. 사건이 서로 독립적일 때, 일정 시간동안 발생하는 사건의 횟수가 푸아송 분포를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따른다.[1] 이는 기하분포와 유사한 측면이 있다.

특징[편집]

확률 밀도 함수[편집]

지수분포의 확률 밀도 함수

f(x; \lambda) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \mbox{where } x \ge 0 \\
0 & \mbox{where } x < 0
\end{cases}

로 정의된다. 단위 계단 함수를 이용해 정의하면,

f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}H(x)

가 된다. 여기서 λ은 빈도를 나타내는 모수이며, 확률변수 X는 [0, ∞)에서 정의된다.

누적 분포 함수[편집]

지수분포의 누적 분포 함수

f(x; \lambda) = \begin{cases}
1 - e^{-\lambda x} & \mbox{where } x \ge 0 \\
0 & \mbox{where } x < 0
\end{cases}

혹은

f(x; \lambda) = (1 - e^{-\lambda x})H(x)

이다..

성질[편집]

기대값과 분산[편집]

확률변수 X가 빈도 λ를 모수로 갖는 지수분포를 따른다면, 기대값은

\mbox{E(}X\mbox{)} = \frac{1}{\lambda}

으로 단위 시간당 사건이 λ회 발생한다면, 사건 사이에 평균적으로 1/λ시간만큼 기다릴 것이라는 것을 의미한다. 분산은

\mbox{Var(}X\mbox{)} = \frac{1}{\lambda^2}

이다.

유도는 여기서 볼 수 있다. http://ryuwillow21.blog.me/50169027531

주석[편집]

  1. 《경영경제 통계학》. McGraw-Hill, 275쪽. ISBN 978-89-6055-098-8

함께 보기[편집]