F 분포

F 분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	$d_1>0,\ d_2>0$ 자유도
받침	$x \in [0, +\infty)\!$
pdf	$\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!$
cdf	$I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!$
기대값	$\frac{d_2}{d_2-2}\!$ for $d_2 > 2$
최빈값	$\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!$ for $d_1 > 2$
분산	$\frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!$ for $d_2 > 4$
왜도	$\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!$ for $d_2 > 6$
첨도	본문 참조
mgf	존재하지 않음
cf	본문 참조

F 분포(F-distribution)은 통계학에서 사용되는 연속 확률 분포로, F 검정과 분산분석 등에서 주로 사용된다.

두 확률변수 $V_1, V_2$가 각각 자유도가 $k_1, k_2$이고 서로 독립인 카이제곱 분포를 따른다고 할 때, 다음과 같이 정의되는 확률변수 F는 자유도가 ($k_1, k_2$)인 F-분포를 따른다고 한다.

$F=\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2} \sim F(k_1,k_2)$

F분포 F(d₁, d₂)를 따르는 무작위 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

$g(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)} \; \left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2} \; x^{-1}$

여기서 실수 x ≥ 0에 대해 d₁과 d₂는 양의 정수이며, B는 베타 함수이다.

누적 분포 함수는 다음과 같다.

$G(x) = I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)$

여기에서 I는 정규화 불완전 베타 함수이다.

특성함수는 다음과 같다.

$\varphi^F_{\nu_1, \nu_2} = M\left(\frac{\nu_1}{2}, -\frac{\nu_2}{2}, -i\frac{\nu_2}{\nu_1}t \right)$

같이 보기

• 분산분석