카이제곱 분포

카이제곱 분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	자연수 $k$: 자유도
받침	x ∈ [0, +∞)
pdf	$\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\; x^{k/2-1} e^{-x/2}$
cdf	$\frac{1}{\Gamma(k/2)}\;\gamma(k/2,\,x/2)$
기대값	$k$
중앙값	$\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3$
최빈값	max{ k − 2, 0 }
분산	$2k$
왜도	$\scriptstyle\sqrt{8/k}$
첨도	12 / k
엔트로피	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
mgf	$(1-2\,t)^{-k/2}$, 단 $|k| \le 1/2$
cf	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$

카이제곱 분포, χ² 분포는 $k$개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 k를 자유도라고 하며, 카이제곱 분포의 매개변수가 된다. 카이제곱 분포는 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장한다.

카이제곱 분포는 감마 분포의 특수한 경우가 된다.

정의

$X_1, \cdots, X_k$를 $k$개의 독립적이고 표준정규분포를 따르는 확률변수라고 할 때,

$Q = \sum_{i=1}^{k} X_i^2$

로 정의하는 확률변수 $Q$의 분포를 자유도가 $k$인 카이제곱 분포로 정의한다. 이에 대한 표기는 보통 $Q \sim\ \chi^2(k)$나 :$Q \sim\ \chi^2_k$로 나타낸다.

성질

카이제곱 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

$f(x;\,k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \mathbf{1}_{\{x\geq0\}}$

여기에서 $\Gamma(k/2)$는 감마 함수이다.

누적분포함수는 다음과 같다.

$F(x;\,k) = \frac{\gamma(k/2,\,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2,\,x/2)$

비대칭도는 $\sqrt{8/k}$, 첨도는 $12/k$이다. 따라서 k가 충분히 크지 않은 경우 카이제곱 분포를 중심극한정리를 통해 곧바로 정규분포로 근사하는 것은 오차가 많이 발생한다. 그 대신, 다른 방식의 근사 방식이 제안되어 있다.

• 로널드 피셔는 $\sqrt{2 \chi^2_k}$를 정규분포로 근사하는 방법을 제안했다. 이때 평균은 $\sqrt{2k-1}$, 분산은 1이 된다.
• $\sqrt[3]{\chi^2_k /k}$를 정규분포로 근사할 수 있다. 평균은 $1-2/(9k)$, 분산은 $2/(9k)$가 된다.

같이 보기

• 카이제곱 검정