베타 분포

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베타 분포
확률 밀도 함수
Beta distribution pdf.svg
누적 분포 함수
Beta distribution cdf.svg
기호 Beta(α, β)
매개변수 α,β > 0
지지집합 x \in [0, 1]
확률 밀도 \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\Beta(\alpha,\beta)}
누적 분포 I_x(\alpha,\beta)
기댓값 \operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta) (디감마함수)
중앙값 I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)
최빈값 \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} (α, β >1)
분산 \operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta) (폴리감마함수)
비대칭도 \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
첨도 \frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}
엔트로피 \begin{matrix}\ln\Beta(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em]
+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}
모멘트생성함수 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
특성함수 {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t) (초기하함수)

확률론통계학에서, 베타 분포(Β分布, 영어: beta distribution)는 두 매개변수 \alpha\beta에 따라 [0,1] 구간에서 정의되는 연속 확률 분포들의 가족이다.

확률 밀도 함수[편집]

베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

 f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du}
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x
^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}

여기서 \Gamma감마 함수이다. 베타 함수 B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용되었다.

응용[편집]

베타 분포는 다운링크 빔포밍 등에 쓰인다.

바깥 고리[편집]