파레토 분포

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파레토 분포
확률 밀도 함수
Probability density function of Pareto distribution.svg
누적 분포 함수
Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg
매개변수 xm > 0 scale (real)
α > 0 shape
지지집합 x \in [x_\mathrm{m}, +\infty)
확률 밀도 \frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x\ge x_m
누적 분포 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \text{ for } x \ge x_m
기댓값 \begin{cases}
     \infty & \text{for }\alpha\le 1 \\
     \frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \text{for }\alpha>1
   \end{cases}
최빈값 x_\mathrm{m}
분산 \begin{cases}
     \infty & \text{for }\alpha\in(1,2] \\
     \frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} & \text{for }\alpha>2
   \end{cases}
비대칭도 \frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3
첨도 \frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4
엔트로피 \ln\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha}\right) + \frac{1}{\alpha} + 1
모멘트생성함수 \alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t<0
특성함수 \alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)

통계학에서, 파레토 분포(Pareto分布, 영어: Pareto distribution)는 사회과학에서 널리 볼 수 있는 확률분포이다.

정의[편집]

파레토 분포는 다음 성질을 만족시키는 확률변수 X가 따르는 확률분포이다.

\Pr(X>x) = \begin{cases}\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & x < x_\mathrm{m}\end{cases}

즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수 x_\text{m},\alpha를 가진다. x_m>0X의 최솟값이고, \alpha>0파레토 지표라는 매개변수이다. \alpha가 더 크다면 이 분포는 더 큰 불평등을 나타낸다. 즉, \alpha가 0에 가까울 수록 더 균등분포에 가깝고, 반대로 \alpha가 더 클 수록 디랙 델타 함수에 가까워진다.

응용[편집]

빌프레도 파레토는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 (파레토 법칙), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299–345.
  • M. O. Lorenz (1905년). Methods of measuring the concentration of wealth. 《Publications of the American Statistical Association》 9 (70): 209–219. doi:10.2307/2276207. Bibcode1905PAmSA...9..209L.
  • Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Originally published in 1896). In: Busino G, editor. Oevres Completes de Vilfredo Pareto. Geneva: Librairie Droz. pp. 1–5.
  • Pareto, V. (1895). La legge della domanda. Giornale degli Economisti, 10, 59–68. English translation in Rivista di Politica Economica, 87 (1997), 691–700.
  • Pareto, V. (1897). Cours d'économie politique. Lausanne: Ed. Rouge.

같이 보기[편집]

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