확률공간

확률공간(probability space)은 확률을 수학적인 방식으로 서술한 공간으로, 확률적으로 나타낼 수 있는 사건의 집합과 그 사건이 가지는 확률을 정의하는 공간이다.

정의

확률공간은 수학적으로 다음의 세 부분으로 정의된다.

• 표본공간 $\Omega$: 확률공간에서 발생할 수 있는 모든 가능성을 담고 있는 집합으로, 즉 전체사건에 해당한다. 공집합이 아니어야 한다.
• 시그마-대수 $\mathcal{F} \subseteq 2^\Omega$: 확률공간에서 가능한 모든 사건의 집합으로, 다음 성질을 만족한다:
  • $\emptyset \in \mathcal{F}$
  • 여집합에 대해 닫혀 있다. 즉, $A \in \mathcal{F}$이면, $\Omega \backslash A \in \mathcal{F}$이다.
  • 가산개의 합집합에 대해 닫혀 있다. 즉, 가산개의 $\{A_i\}_i$에 대해서 $A_i \in \mathcal{F}$이면, $\cup_i A_i \in \mathcal{F}$이다.
• 확률측도 $P: \mathcal{F} \to [0,1]$: 각 사건에 대해 확률을 부여하는 측도함수로, $P(\Omega) = 1$을 만족한다.

확률공간은 측도공간의 일종으로, 전체집합의 측도가 1인 조건이 추가된 것으로 볼 수 있다.