확률공간

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확률론에서, 확률공간(確率空間, 영어: probability space)은 전체 측도가 1인 측도공간이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 측도확률을 정의한다.

정의[편집]

확률공간 (\Omega,\mathcal F,\Pr)은 공간 전체의 측도가 1인 측도공간이다.

\Pr(\Omega)=1

확률론에서는 측도론의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.

확률론의 용어를 사용한다면, 측도공간의 각종 성질은 다음과 같다.

  • 사건 S\subset\Omega에 대하여, 그 여집합 \Omega\setminus S 역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
  • 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
  • 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.

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확률공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.

유한 확률공간[편집]

유한집합 \Omega 및 음이 아닌 실수 값의 함수 p\colon\Omega\to[0,1]을 부여하고, 또한

\sum_{x\in\Omega}f(x)=1

이라고 하면, 다음과 같은 확률공간 (\Omega,\mathcal P(\Omega),\Pr)을 정의할 수 있다.

  • 표본 공간은 유한집합 \Omega이다.
  • 사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 \mathcal P(\Omega)이다. 즉, 표본 공간의 모든 부분집합이 사건을 이룬다.
  • 사건 S\subset\Omega의 확률은 다음과 같다.
\Pr(S)=\sum_{x\in S}f(x)

유클리드 공간의 부분공간[편집]

측도공간 (X,\mathcal F,\mu)에서, 측도가 양의 실수인 가측집합

\Omega\in\mathcal F
0<\mu(\Omega)<\infty

이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간 (\Omega,\mathcal F|_\Omega,\Pr)을 정의할 수 있다.

  • 표본 공간은 \Omega이다.
  • 사건 시그마 대수는 \mathcal F|_\Omega=\{S\cap\Omega|S\in\mathcal F\}이다.
  • 사건 S\in\mathcal F|_\Omega의 확률은 다음과 같다.
\Pr(S)=\mu(S)/\mu(\Omega)

예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분집합을 확률공간으로 삼을 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]