르베그 적분

르베그 적분(Lebesgue integral)은 르베그 측도를 이용하여 정의하는 적분을 의미한다. 르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 리만 적분과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같게 된다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.

정의 [편집]

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 표시함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다. 르베그 측도공간 $(E, X, \mu)$ 과 가측함수 $f$ 에 대하여, 르베그 적분 $\int f d\mu$ 혹은 $\int f(x) \mu(dx)$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

먼저 표시함수에 대한 적분을 정의한다. $f$ 가 어떤 가측집합 $S \in X$ 에 대한 표시함수 $1_S$ 라면, $\int f d\mu = \mu(S)$ 로 정의한다.

$f$ 가 표시함수들의 선형결합 $f = \sum_k a_k 1_{S_k}$ (단, $a_k \ge 0$ )일 경우, 즉 음수값을 갖지 않는 단순함수일 경우, $\int f d\mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k} d\mu$ 로 정의한다.

다음으로 $f$ 가 음수값을 갖지 않는 경우를 정의한다. 음수값을 갖지 않는 단순함수의 집합을 $S$ 라고 한다면, $\int f d\mu = \sup \{ \int s d\mu: 0 \le s \le f, s \in S \}$ 로 정의한다.

만약 위의 경우에 대해서 적분값이 정의되지 않는다면 $f$ 는 적분불가능한 함수로 정의한다.

마지막으로 $f$ 가 음수값을 가질 수 있는 경우는 다음과 같이 정의한다. $f^+ = \max\{f,0\}$ , $f^- = - \min\{f,0\}$ 을 각각 $f$ 의 양수 부분과 음수 부분으로 정의한다면 $f = f^+ - f^-$ 가 성립한다. 또한, $f^+$ , $f^-$ , $|f| = f^+ + f^-$ 는 모두 음수값을 갖지 않기 때문에 두 함수에 대한 적분을 앞의 정의를 사용하여 구할 수 있다. 만약 $|f|$ 가 적분가능하다면, $f$ 도 적분가능하며, 이때의 값은 $\int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu$ 로 정의한다.