르베그 적분

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측도론에서, 르베그 적분(Lebesgue積分, 영어: Lebesgue integral)은 일반적인 측도공간 위에 정의될 수 있는 적분이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적이다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 극한 개념 등과 잘 어울리기 때문에, 해석학이나 확률론 등의 분야에 주로 사용된다.

정의[편집]

르베그 적분은 르베그 측도를 기반으로 하여 정의하며, 표시함수와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다. 측도공간 (E, \mathcal E, \mu) 위의 단순함수(영어: simple function) E\to[0,\infty)가측집합 위의 표시함수들의, 음이 아닌 계수를 가진 유한 선형결합이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

\sum_{i=1}^na_i1_{S_i}\qquad(a_i\ge0,\;S_i\in\mathcal E)

단순함수들의 집합을 \mathcal S(E)라고 하자. 단순함수 s\in\mathcal S(E)르베그 적분은 다음과 같다.

\int\sum_ia_i1_{S_i}\,d\mu=\sum_ia_i\mu(S_i)

\mathcal B(\mathbb R)가 실수의 보렐 집합들의 시그마-대수라고 하자. 가측함수 f\colon(E,X,\mu)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))르베그 적분 \int f d\mu는 다음과 같다.

\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}
-\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{-f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}

가측집합 A\subset E에 국한된 르베그 적분은 다음과 같다.

\int_Af\,d\mu=\int 1_Af\,d\mu

유클리드 공간 E=\mathbb R^n 위의 르베그 적분은 보통 르베그 측도를 갖춘 경우를 의미한다.

리만 적분과의 관계[편집]

리만 적분은 적분 영역을 세로로 나누어 계산하지만, 르베그 적분은 적분 영역을 가로로 나누어 계산한다.

르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 리만 적분과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

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유리수 집합 위의 표시함수 1_{\mathbb Q}리만 적분이 존재하지 않는다. 그러나 그 르베그 적분은 존재하며,

\int 1_{\mathbb Q}\,d\mu=\mu(\mathbb Q)=0

이다.

역사[편집]

앙리 르베그가 박사 학위 논문에서 1902년 정의하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Lebesgue, Henri (1902년). 《Intégrale, longueur, aire》
  2. (프랑스어) Lebesgue, Henri (1904년). 《Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives》. Gauthier-Villars
  • (영어) Hawkins, Thomas. 《Lebesgue’s theory of integration: Its origins and development》, 2판, AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-082840282-8
  • (영어) Bauer, Heinz (2001년). 《Measure and integration theory》, De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter, 236쪽. ISBN 978-3-11-016719-1
  • (영어) Folland, Gerald B. (1999년). 《Real analysis: Modern techniques and their applications》, Pure and Applied Mathematics (New York), Second, New York: John Wiley & Sons. MR1681462. ISBN 0-471-31716-0
  • (영어) Munroe, M. E. (1953년). 《Introduction to measure and integration》. Addison-Wesley. MR0053186
  • (영어) Yeh, James (2006년). 《Real analysis: Theory of measure and integral》, 2판, Singapore: World Scientific, 760쪽. ISBN 978-981-256-6

바깥 고리[편집]