르베그 측도

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측도론에서, 르베그 측도(영어: Lebesgue measure)는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이를 사용하여 르베그 적분을 정의할 수 있다.

정의[편집]

르베그 측도는 유클리드 공간 \mathbb R^n 위에 정의되는 측도이며, 보렐 측도완비화이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. \mathbb R^n 위의 르베그 측도는 \mathbb R 위의 르베그 측도의 곱측도로 정의할 수 있으므로, \mathbb R 위의 측도를 정의하는 것으로 족하다. \mathbb R 위의 르베그 외측도' \lambda\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]는 다음과 같다.

\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}

르베그 가측집합은 다음 성질을 만족시키는 집합 S\subset\mathbb R이다.

  • 모든 T\subset\mathbb R에 대하여, \lambda^*(S)=\lambda^*(S\cap T)+\lambda^*(S\setminus T)

르베그 가측집합의 집합 \mathcal L시그마-대수를 이룸을 보일 수 있다. \mathbb R 위의 르베그 측도 \lambda=\lambda^*|_{\mathcal L}는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며, (\mathbb R,\mathcal L,\lambda)측도공간을 이룸을 보일 수 있다.

성질[편집]

k차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 \lambda는 다음의 성질을 만족한다.

  • 모든 보렐 집합은 르베그 가측집합이다.
  • 르베그 측도는 완비측도이다. 즉, 어떤 집합이 측정 가능하고 측도 0이면, 그 부분집합 또한 측정 가능하다.
  • 르베그 측도는 이동불변성을 갖는다. 즉, 임의의 집합 E와 벡터 a \in \mathbb{R}^k에 대해, E + a := \{x+a: x \in E\}는 측정 가능하며 E와 같은 측도를 갖는다.

르베그 가측 집합[편집]

비탈리 정리에 따르면 선택공리를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정공리를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선택공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 \beth_2=2^{2^{\aleph_0}}이지만, 보렐 집합의 수는 \beth_1=2^{\aleph_0}이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.

모든 르베그 가측 집합 L은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

L=G\setminus N=F\cup N'

여기서

[편집]

선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 (0, 1)의 측도는 길이와 같은 1이다.

칸토어 집합은 크기가 2^{\aleph_0}이지만 르베그 측도가 0이다.

바깥 고리[편집]