적분

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적분(積分)은 어떤 함수의 정의역에 포함되는 부분집합에서, 고전적으로는 그 함수가 가지는 리만 합의 극한으로 정의된다.(리만 적분) 역사적으로는 미분과 별개의 분야로 출발하였으나, 적분값을 나타내는 함수가 역도함수와 같다는 것이 미적분학의 기본정리를 통해 증명되면서 미적분학으로 발전하였다.

[편집] 정적분

폐구간 $[a, b]$ 에서 연속인 함수 $y = f (x)$ 를 생각하자.

여기에서 기하에서의 면적으로 이해하기 위하여 $f(x)\ge 0$ 이라고 가정하자.

폐구간 $[a, b]$ 를 $n$ 등분 한 후 $\frac{b-a}{n}= \Delta x$ 이라고 하자. 각각의 나누어진 점을 $a=x_0 , x_1 , x_2 ,\cdots , x_n=b$ 라고 하면 이들은 공차가 $Δ x$ 인 등차수열을 이룬다.

즉, $x k = a + k Δ x$ 이다. 이때 가로의 길이를 $Δ x$ 세로의 길이를 $f (x k)$ 로 하는 $n$ 개의 직사각형들의 넓이의 합은 $\sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x$ 이고, 이 값의 극한값 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x$ 을 $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 으로 정의한다.