영의 부등식

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영의 부등식(Young's inequality, -不等式)은 영국수학자윌리엄 헨리 영이 제시한 부등식이다. 이 부등식은 옌센 부등식민코프스키의 적분부등식에 의해 얻을 수 있으며, 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다. 크게 초등적 형태와 합성곱 형태의 두 종류가 있다.

초등적 형태[편집]

a와 b를 음이 아닌 실수라 하자. 그리고 양의 실수 p, q가 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 을 만족한다고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.[1]

  • ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

이 부등식은 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다.

증명[편집]

이 형태의 증명에서는 로그함수오목함수임을 이용한다. 오목성에 의해 옌센 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

\ln{(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q)} \ge \frac{1}{p}\ln{a^p} + \frac{1}{q}\ln{b^q} = ln(ab).

일반화[편집]

n개의 양수 a_1, ..., a_n\sum_{i=1}^n a_i = 1 을 만족할 때, n개의 음이 아닌 실수 t_1, ..., t_n 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.[2] 일반화한 이 형태 역시 옌센 부등식에 의해 얻을 수 있다.

  • \prod_{i=1}^n t_i^{a_i} \le \sum_{i=1}^n a_it_i.

역함수의 적분 형태[편집]

[0, c]에서 실수로 가는 연속이고 f(0) = 0인 강증가함수 f에 대해 f의 역함수f^{-1} 이라 하면, 다음 부등식이 성립한다.

  • ab \le \int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-1}(x)\,dx.

여기서 a \in [0, c] 이고 b \in [0, f(c)] 이다.

합성곱 형태[편집]

1 \le p, q, r \le \infty 이고 \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1 이라 하자. f \in L^p, g \in L^q 라 하면 f*g \in L^r 이고, 다음 부등식이 성립한다.[3]

  • ||f*g||_r \le ||f||_p||g||_q.

이 부등식을 얻기 위해서는 민코프스키의 적분부등식을 이용해야 한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 68쪽.
  2. 같은 책, 67쪽.
  3. 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 279쪽.

참고 문헌[편집]

  • 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
  • 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002