쌍대공간

수학에서, 벡터공간 V의 쌍대 벡터공간(dual vector space) 혹은 쌍대공간(dual space)은 V 상의 범함수들로 이루어진 공간이다.

대수적 쌍대공간

$V$가 체 $F$ 상의 벡터공간일 때, $V$의 쌍대공간 $V^*$는 $V$ 상의 모든 범함수(즉, $V$에서 $F$로의 선형사상)들의 집합으로 정의된다. $\phi,\, \psi$가 $V^*$의 원소이고 $a$는 $F$의 원소, x는 $V$의 원소일 때, 다음과 같이 연산을 정의하면 $V^*$는 $F$ 상의 벡터공간이 된다.

$(\phi + \psi )( x ) \,=\, \phi ( x ) + \psi ( x )$

$( a \phi ) ( x ) \,=\, a \phi ( x )$

텐서의 언어로 말하면, $V$의 원소들은 반변 벡터(contravariant vector)이고, $V^*$의 원소들은 공변 벡터(covariant vector)나 코벡터 혹은 1-형식이라 할 수 있다.

함께 보기

• 쌍대성
• 쌍대성 (사영기하학)