쌍대공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

선형대수학에서, 쌍대공간(雙對空間, 영어: dual space)은 어떤 벡터공간 위의 범함수들로 이루어진 벡터공간이다.

대수적 쌍대공간[편집]

V K 상의 벡터공간일 때, V(대수적) 쌍대공간 V^*V 상의 모든 범함수(즉, V에서 K로의 선형사상)들의 집합으로 정의된다. \phi,\, \psiV^*의 원소이고 aK의 원소, x는 V의 원소일 때, 다음과 같이 연산을 정의하면 V^*F 상의 벡터공간이 된다.

 (\phi + \psi )( x ) \,=\, \phi ( x ) + \psi ( x )
 ( a \phi ) ( x ) \,=\, a \phi ( x )

이는 K에 대한 벡터공간과 선형변환들의 범주 K\text{-Vect} 위의 함자 ^*\colon K\text{-Vect}\to K\text{-Vect}^{\operatorname{op}}를 정의한다.

유한 차원의 경우[편집]

유한 차원 벡터공간 V의 경우, 대수적 쌍대공간 V^*은 유한차원이다. 즉, ^*\colon K\text{-Vect}\to K\text{-Vect}^{\operatorname{op}}^*\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}^{\operatorname{op}}로 국한할 수 있다 (K\text{-FinVect}는 유한 차원 벡터공간들의 범주). 또한, V와 그 대수적 쌍대공간 V^*의 차원은 같으며, 따라서 이 둘은 서로 동형이다.

\dim V=\dim V^*
V\cong V^*

그러나 이는 표준적(영어: canonical)이지 않다. 범주론적으로, ^*\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}^{\operatorname{op}}는 반변자기함자이므로, (공변) 자기함자가 아니다.

반면, V의 이중 쌍대공간 V^**V와 표준적으로 동형이다. 범주론적으로, 함자

^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}

는 상수 함자

\operatorname{id}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}

자연동형이다.

무한 차원의 경우[편집]

무한 차원의 벡터공간 V의 경우, V^*의 차원은 (기수로서) 항상 V의 차원보다 더 작다.

\aleph_0\le\dim V\implies \dim V<\dim V^*

상수 함자에서 이중 쌍대공간 함자 ^{**}\colon K\text{-FinVect}\to K\text{-FinVect}로 가는 자연 변환 \phi가 존재한다.

\phi\colon\operatorname{id}\implies^{**}
\phi_V\colon V\to V^{**}

이 경우, \phi_V들은 항상 단사함수이지만, V가 무한 차원일 경우 전사함수가 아니다.

연속쌍대공간[편집]

위상체 K에 대한 위상벡터공간 V연속쌍대공간 V'V 위의 유계 선형 범함수 f\colon V\to K의 벡터공간이다.

이 경우, V'에는 다양한 위상을 주어 위상벡터공간으로 만들 수 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]